INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

eが二次の有理数係数方程式を満たさないことの証明

数数-e

$e$ が無理数であることは

integers.hatenablog.com

で証明しており、 $e$ が超越数であることも

integers.hatenablog.com

で証明していますが、この記事では古くから知られている*1「 $e$ が二次の有理数係数方程式を満たさないことの初等的証明」を紹介します。これは、 $e^2$ の無理性証明にもなっています。

証明. $e$ が二次の有理数係数方程式の根であったと仮定すると、整数 $a, b, c$ が存在して

$ae^2+be+c=0$

が成り立つ。両辺を $e$ で割ると

$ae+ce^{-1}=-b$ −①

が得られる。ここで、

$\displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}+R_{n+1}$

$\displaystyle e^{-1}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\cdots +(-1)^n\frac{1}{n!}+\widetilde{R}_{n+1}$

と書けることを思い出す。 $n \geq \left|a\right|+\left|c\right|$ とする。①の両辺を $n!$ 倍することにより

$an!R_{n+1}+cn!\widetilde{R}_{n+1}$

は整数であることがわかる。5通りの第一証明の計算により*2

$\displaystyle n!R_{n+1} < \frac{1}{n},\quad n!\left|\widetilde{R}_{n+1}\right| < \frac{1}{n}$

と評価できるので、

$\displaystyle \left|an!R_{n+1}+cn!\widetilde{R}_{n+1}\right| <\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{n} \leq 1$

となって、 $an!R_{n+1}+cn!\widetilde{R}_{n+1}=0$ が従う。 $a, c$ が零のときは $e$ の無理性に帰着されるので、 $a, c \neq 0$ としてよい。 $R_{n+1} > 0$ であり、

$\displaystyle \widetilde{R}_{n+1} = (-1)^{n+1}\left(\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{(n+3)!}-\cdots\right)$

は正負が交互に入れ替わる数である。しかし、

$\displaystyle \frac{R_{n+1}}{\widetilde{R}_{n+1}} = -\frac{c}{a}$

なので、 $\widetilde{R}_{n+1}$ の符号が異なるような二つの $n$ を考えることにより矛盾が生じる。 Q.E.D.

*1:Liouvilleによる。

*2: $\widetilde{R}_{n+1}$ の方は三角不等式を使わなくても交代和になっていることから即座にわかる。