メルセンヌお助け数

Mersenne数の記事

integers.hatenablog.com

で紹介したようにMersenneは間違いをおかしていて、例えば、 $M_{67}, \ M_{257}$ は素数でないにも関わらず素数だと予想していました。

$2^{67}-1=147573952589676412927 = 193707721 \times 761838257287$

$\begin{align}2^{257}-1 &= 231584178474632390847141970017375815706539969331281128078915168\\ &\quad 015826259279871 \\ &= 535006138814359 \times 1 155685395246619182673033 \\ & \quad \times 374550598501810936581776630096313181393\end{align}$

ところで、 $M_{67}, \ M_{257}$ は二進法で表示すると $1$ がそれぞれ $67$ 個、 $257$ 個並ぶ数ですが、他の進法で考えると $1$ が $67$ 個または $257$ 個並ぶ数が素数になるかもしれません*1。

実は $46$ 進法で考えると $1$ が $67$ 個並ぶ数は素数であり、 $52$ 進法で考えると $1$ が $257$ 個並ぶ数は素数です。

$\begin{align} (46^{67}-1)/45 = \ & 56 436777 630861 204610 228497 995848 224493 886299 348863 214641 450\\ \ &495 790307 809339 190661 333386 939668 397177 299125 252187\end{align}$

$\begin{align} (52^{257}-1)/51 = \ &20 197105 686819 883856 775819 292592 938608 925163 078116 518691 98\\ \ &0145 061875 145205 588318 598657 233195 044780 005941 887501 386294\\ \ &504500 014840 803931 688272 229134 797033 995199 238123 198274 0726\\ \ &73 664141 542951 687862 499250 961052 599264 937170 158186 565618 73\\ \ &4925 470899 849458 831605 955731 336436 750264 821990 023908 614133\\ \ &165940 695070 933234 575959 673342 402621 222379 524836 710135 2530\\ \ &65 525165 389336 516206 870403 743586 654539 992294 908025 169216 81\\ \ &4223 625474 238306 873349 549332 956421\end{align}$