多項式に関する簡単な問題２

昔紹介した問題*1

問題 $n$ を正整数とする。有界なる $n$ 変数複素係数多項式は定数に限ることを示せ。

の最もシンプルだと感じた証明を書いておきます。ただし、一変数の場合への帰着のみ書きます(一変数の場合は簡単)。

証明. $n$ 変数多項式 $P(x_1, \dots, x_n)$ は $\mathbb{C}^n$ で有界であると仮定する。 $(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{C}^n$ を任意にとって固定する。このとき、一変数多項式 $Q(t):=P(x_1t, \dots, x_nt)$ は有界なので定数であり、 $Q(1)=Q(0)$ であることから $P(x_1, \dots, x_n)=P(0, \dots, 0)$ が従う。 Q.E.D.

*1:こちらの記事で紹介しました： integers.hatenablog.com

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

多項式に関する簡単な問題２