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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

Feit-Thompson予想

整数 整数-17 整数-3313 整数-112643

予想 (Feit-Thompson, 1962) p, qを相異なる素数とする。このとき、\displaystyle \frac{p^q-1}{p-1}は\displaystyle \frac{q^p-1}{q-1}を割り切ることはない。

この予想はFeit-Thompsonの定理の文脈で、もし正しければその証明を簡略化できるだろうという形で提起されました。より強く\displaystyle \frac{p^q-1}{p-1}と\displaystyle \frac{q^p-1}{q-1}は互いに素であるかという主張も考えられますが(これがFeit-Thompson予想と呼ばれることもある)、

N. Stephens, On the Feit–Thompson conjecture, Math. Comp., 25 (1971), 625.

において、こちらは否定されています。実際、p=17, q=3313とすると、

\begin{align} \frac{3313^{17}-1}{3313-1} &= 210704631469613851903863028967414811023076458348545820561 \\ &=112643\times 23946003637421\times 78115430278873040084455537747447422887\end{align}

ですが、4076桁の数\displaystyle \frac{17^{3313}-1}{17-1}も112643で割り切れます。