調和級数と優収束定理

$f_n\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を $f_n:=\frac{1}{n}\mathbf{1}_{[0,n)}$ で定義する. ここで, $\mathbf{1}_A$ は集合 $A$ の指示関数を表す. $(f_n)_{n\in\mathbb{Z}_{>0}}$ は定数関数 $0$ に各点収束する.

調和級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ が有限値 $H$ に収束したと仮定する.

関数 $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を $\displaystyle g(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\mathbf{1}_{[n-1,n)}(x)$ で定義すると, 任意の正整数 $n$ と実数 $x$ に対して $|f_n(x)|\leq g(x)$ が成り立っており, 更に $g(x)$ は可積分関数である: $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}g(x)\mathrm{d}x=H$ .