ベルヌーイ多項式は
で定義されるのでした。Almkvist-Meurmanが証明した次の定理を紹介します*1。
定理
を正整数とする。
とおくとき、
が成り立つ。
ここで紹介する証明はSuryによるものです*2。なお、定理はの場合も
であることから自明に成立しています。
の場合への帰着
の場合が証明できたと仮定し、一般の
でも成立することを数学的帰納法で証明する。従って、
のときには成立すると仮定する。
加法公式と帰納法の仮定により
が成り立つ。ここで、は差が整数であることを意味する。最後の値は
には依存しないものなので、
となる。
2つの漸化式
以下、
とおく。このとき、
が成り立つ。これを
として係数を比較すれば、に対して
が得られる。両辺をで割って移項すれば
一方、
として係数を比較すれば、 から
がわかり、
の場合は
が得られる。ここで、
である()。移項して
としておく。
証明
証明 二項係数の定義より
である。また、であれば
と評価でき、この不等式の最初と最後だけを見ればのときも正しい。 Q.E.D.
定理の証明 の場合に示せばよいのであった。
を
に関する数学的帰納法で証明する。
なので、
のときはOK。
とし、
を仮定する。
すると、より
が言える。のときはこれで既によろしい。
を素因数分解としよう。各
に対し、
であるとしよう。は非負整数で
は
と互いに素な整数。各
について
であることを証明する。のときは
よりOKなので、
の場合を考える。補題によって
であるため()、
の左辺は
の倍数であり、
が従う。
定義から組は互いに素なので、ある整数たち
が存在して
が成り立つ。このとき、
であることがよりわかる。 Q.E.D.