ベルヌーイ多項式の特殊値に関するキュートな定理

ベルヌーイ多項式 $B_n(x)\in \mathbb{Q}[x]$ は

$\displaystyle F(x,t):=\frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)t^n}{n!}$

で定義されるのでした。Almkvist-Meurmanが証明した次の定理を紹介します*1。

定理 $n,k,h$ を正整数とする。 $\widetilde{B}_n(x):=B_n(x)-B_n(0)$ とおくとき、

$\displaystyle k^n\widetilde{B}_n\left(\frac{h}{k}\right)\in \mathbb{Z}$

が成り立つ。

ここで紹介する証明はSuryによるものです*2。なお、定理は $n=0$ の場合も $B_0(x)=1$ であることから自明に成立しています。

ベルヌーイ多項式の加法公式

命題 (加法公式)

$\displaystyle B_n(x+y)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}B_i(x)y^{n-i}$

が成り立つ。

証明. 母関数について

$\displaystyle F(x+y,t)=\frac{te^{(x+y)t}}{e^t-1}=F(x,t)e^{yt}$

が成り立つので、あとは係数を比較すればよい。 Q.E.D.

$h=1$ の場合への帰着

$h=1$ の場合が証明できたと仮定し、一般の $h$ でも成立することを数学的帰納法で証明する。従って、 $h-1$ のときには成立すると仮定する。

加法公式と帰納法の仮定により

$\begin{align} k^nB_n\left(\frac{h}{k}\right) &= k^nB_n\left(\frac{h-1}{k}+\frac{1}{k}\right)\\ &=k^n\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}B_i\left(\frac{h-1}{k}\right)\frac{1}{k^{n-i}}\\ &=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}k^iB_i\left(\frac{h-1}{k}\right)\\ &\equiv \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}k^iB_i(0) \pmod{1} \end{align}$

が成り立つ。ここで、 $\bmod{1}$ は差が整数であることを意味する。最後の値は $h$ には依存しないものなので、

$\displaystyle k^nB_n\left(\frac{h}{k}\right)\equiv k^nB_n\left(\frac{1}{k}\right)\equiv k^nB_n(0)$

となる。

2つの漸化式

以下、

$\displaystyle a_n(k):=k^n\widetilde{B}_n\left(\frac{1}{k}\right)$

とおく。このとき、

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n(k)t^n}{n!}=F\left(\frac{1}{k},kt\right)-F(0,kt)=\frac{kt(e^t-1)}{e^{kt}-1}$

が成り立つ。これを

$\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n(k)t^n}{n!}\right)(e^{kt}-1)=kt(e^t-1)$

として係数を比較すれば、 $n\geq 1$ に対して

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\binom{n+1}{i}a_i(k)k^{n+1-i}=(n+1)k$

が得られる。両辺を $k$ で割って移項すれば

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}\binom{n+1}{i}a_i(k)k^{n-i}=(n+1)(1-a_n(k)).\tag{1}$

一方、

$\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n(k)t^n}{n!}\right)(1+e^t+\cdots +e^{(k-1)t})=kt$

として係数を比較すれば、 $ka_1(k)=k$ から $a_1(k)=1$ がわかり、 $n\geq 2$ の場合は

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}a_i(k)s_{n-i}(k)+ka_n(k)=0$

が得られる。ここで、

$\displaystyle s_n(k):=\sum_{i=1}^{k-1}i^n$

である( $s_n(1):=0$ )。移項して

$\displaystyle -\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}a_i(k)s_{n-i}(k)=ka_n(k)\tag{2}$

としておく。

証明

補題 $p$ を素数とし、整数 $i, r$ は $1\leq i\leq r$ を満たし、正整数 $m$ は $p$ と互いに素なものとする。このとき、

$\displaystyle \mathrm{ord}_p\binom{mp^r}{i}\geq r-i+1$

が成り立つ。 $\mathrm{ord}_p$ は $p$ で割り切れる回数(付値)を表すものとする。

証明二項係数の定義より

$\displaystyle \binom{mp^r}{i}=\frac{mp^r}{i}\binom{mp^r-1}{i-1}\equiv 0 \pmod{p^{r-\mathrm{ord}_p(i)}}$

である。また、 $i\geq 2$ であれば

$\mathrm{ord}_p(i)\leq \log_p(i)\leq \log_2(i)\leq i-1$

と評価でき、この不等式の最初と最後だけを見れば $i=1$ のときも正しい。 Q.E.D.

定理の証明 $h=1$ の場合に示せばよいのであった。 $a_n(k)\in \mathbb{Z}$ を $n$ に関する数学的帰納法で証明する。 $a_1(k)=1$ なので、 $n=1$ のときはOK。 $n\geq 2$ とし、 $a_1(k), a_2(k), \dots, a_{n-1}(k)\in \mathbb{Z}$ を仮定する。