図形の問題の解答

先日紹介した思い出の図形問題

integers.hatenablog.com

の解答を幾つか紹介します。

解答１

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$AB=CD$ という条件から、図のように

$\triangle ABD \equiv \triangle CDE$

となるように点 $E$ を導入する。このとき、 $AD=CE$ かつ $\angle ADE=\angle CED=110^{\circ}$ が成り立ち、この状況において四角形 $ADEC$ が等脚台形になっていることはよく知られた通り。よって、錯角を見れば $\angle ACB=40^{\circ}$ がわかる。

解答２

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図のように $BE=BA$ となるように(すなわち、 $\angle AEB=70^{\circ}$ となるように)補助線 $AE$ を引く。このとき、二辺夾角相等により

$\triangle ABE \equiv \triangle DCA$

が示せるので、 $\angle ACB=\angle EBA=40^{\circ}$ を得る。

以上、二つの解答は直接的な証明ですが、解答１は補助線を２本使うのに対し、解答２は補助線１本で済むというのが中学生時代の私の小さな喜びだったわけです。この問題を色々なところで人に話すと、解答２を答えてくれる人もたくさんいます。一方、以下で述べる解答３、４は間接法です*1。

同一法

問題の条件を満たす図形の存在は"up to similarity"で一意的であることがすぐに分かります。なので、 $\angle ACB=40^{\circ}$ であって問題の条件が全て成立するような図形を構成出来れば証明が完了します。論理的にはそれだけの話ですが、受験業界では同一法という用語を用いることが多いようです。同一法による証明を紹介しましょう。

解答３

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図のように底角が $40^{\circ}$ であるような二等辺三角 $ABC$ を考え、 $\angle BAD=30^{\circ}$ となるように線分 $BC$ 上に点 $D$ をとる。このとき、 $AB=CD$ を示せばよいが、 $\angle CAD=\angle CDA=70^{\circ}$ なので、 $AC=CD$ であり、 $AB=AC=CD$ を得る。

なお、この図形は正十八角形の対角線のみで作ることができます(正十八角形の一辺に対する円周角は $10^{\circ}$ なので、容易に角度計算ができます)。

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解答４は背理法です。

解答４

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$? < 40^{\circ}$ と仮定する。このとき、 $AB < AC$ となり、従って $DC < AC$ となる。すると、 $\angle CAD < \angle ADC = 70^{\circ}$ となって、 $\triangle ACD$ の内角の和が $180^{\circ}$ より小さくなってしまう。しかし、我々は今Euclid幾何学の世界にいるのであった。 $? > 40^{\circ}$ としても同様の矛盾が生じ、 $?=40^{\circ}$ でなければならない。