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数、特に整数に関する記事。

アーベルの総和法

後の記事で基本的な役割を果たすことになるAbelの総和法を紹介しておきます。

Abelの総和法
\{a_n\}_{n=n_0}^{\infty}を実数列、\varphi (x)[ n_0, \infty )上定義されたC^1級関数、\displaystyle S(x) := \sum_{n_0 \leq n \leq x}a_nとする。
このとき、
\displaystyle \sum_{n_0 \leq n \leq x}a_n\varphi (n) = S(x)\varphi (x)-\int_{n_0}^xS(t)\varphi'(t)dt
が成り立つ。

証明. a_n=S(n)-S(n-1)を利用して、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{n_0 \leq n \leq x}a_n\varphi (n) &= S(n_0)\varphi (n_0) + \sum_{n=n_0+1}^{[x]}\{ S(n)-S(n-1)\}\varphi (n) \\ &= \sum_{n=n_0}^{[ x]-1}S(n)\{\varphi (n)-\varphi (n+1)\} + S([ x ])\varphi ([ x ])\end{split}\end{equation}

と計算できる。n\leq t < n+1のとき、S(t)=S(n)なので

\displaystyle S(n)\{ \varphi (n)-\varphi (n+1)\} = -\int_n^{n+1}S(t)\varphi' (t)dt.

また、S([ x ])=S(x)に注意して、

\displaystyle S([ x ])\varphi([ x ]) = S(x)\varphi (x) - \int_{[ x ]}^xS(t) \varphi' (t)dt.

以上を合わせることにより所望の等式が得られる。 Q.E.D.

Abelの総和法の応用として、いくつかの基本的な漸近公式を導出しておきます。ビッグオーOはLandauの記号で、全てx \to \inftyにおける漸近挙動を考えています。また、n_012のみ考えています。

漸近公式1 \ \ \ \displaystyle \sum_{n \leq x}\log n = x\log x - x + O(\log x).

証明. a_n=1, \varphi (x) = \log xとしてAbelの総和法を適用すると、S(x) = [ x ] であり、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{n \leq x}\log n &= [ x ] \log x - \int_1^x\frac{[ t ]}{t}dt = x\log x - \{ x \} \log x - x +1 + \int_1^x\frac{\{t\} }{t}dt \\ &= x\log x -x + O(\log x) \end{split}\end{equation}

を得る。ただし、\{ x \} := x-[ x ] Q.E.D.

漸近公式2 \ \ \ \displaystyle \sum_{n \leq x}\log^2 n = x(\log^2x-2\log x+2) + O(\log^2 x).

\log^2 x = (\log x)^2です。
証明. a_n=1, \varphi (x) = \log^2 xとしてAbelの総和法を適用すると、S(x) = [ x ] であり、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{n \leq x}\log^2 n &= [ x ] \log^2 x -2 \int_1^x\frac{[ t ]\log t}{t}dt \\ &= x\log^2 x - \{ x \} \log^2 x - 2\int_1^x\log t dt + 2\int_1^x\frac{\{t\}\log t }{t}dt \\ &= x\log^2 x + O(\log^2 x) -2(x\log x-x+1)+O(\log^2x) \\ &=x(\log^2 x -2\log x+2)+O(\log^2 x)\end{split}\end{equation}

を得る。 Q.E.D.

漸近公式3 \ \ \ \displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{1}{n} = \log x + \gamma + O(x^{-1}).

\displaystyle \gamma := \lim_{x \to \infty}\left( \sum_{n \leq x}\frac{1}{n} - \log x \right)Eulerの定数です。

証明. a_n=1, \varphi (x) = x^{-1}としてAbelの総和法を適用する。このとき、S(x)=[ x ] であり、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{n \leq x}\frac{1}{n} &= \frac{[ x ]}{x}+\int_1^x\frac{[t ]}{t^2}dt = 1 - \frac{\{ x \} }{x}+\int_1^x\frac{dt}{t}-\int_1^x\frac{\{ t \} }{t^2}dt \\ &= \log x + \left( 1 -\int_1^{\infty}\frac{ \{ t \} }{t^2}dt \right) +\int_x^{\infty}\frac{\{ t \} }{t^2}dt  - \frac{\{ x \} }{x}\end{split}\end{equation}

を得る。\displaystyle \int_x^{\infty}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{x}なので、

\displaystyle \int_x^{\infty}\frac{\{ t \} }{t^2}dt-\frac{\{ x \} }{x} = O(x^{-1})

であり、\displaystyle \int_1^{\infty}\frac{\{ t \} }{t^2}dtは収束して、\displaystyle 1 - \int_1^{\infty}\frac{ \{ t \} }{t^2}dt = \gammaであることが積分を計算することによりわかる。 Q.E.D.

漸近公式4 \ \ \ \displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{\log n}{n} = \frac{1}{2}\log^2x+a+O\left( \frac{\log x}{x} \right).

aはある定数。
証明. a_n=1, \displaystyle \varphi (x) = \frac{\log x}{x}としてAbelの総和法を適用する。このとき、S(x)=[ x ] であり、

\begin{equation}\begin{split}\sum_{n \leq x}\frac{\log n}{n} &= \frac{[ x ] \log x}{x}-\int_1^x\frac{[ t ](1-\log t)}{t^2}dt \\ &= \log x - \frac{\{ x\} \log x}{x}-\int_1^x\frac{dt}{t}+\int_1^x\frac{\log t}{t}dt+\int_1^x\frac{\{ t \} (1-\log t)}{t^2}dt \\ &= \frac{1}{2}\log^2 x + \int_1^{\infty}\frac{\{ t \} (1-\log t)}{t^2}dt - \int_x^{\infty}\frac{\{ t \} (1-\log t)}{t^2}dt + O\left( \frac{\log x}{x} \right) \end{split}\end{equation}

を得る。

\displaystyle \int_x^{\infty}\frac{1-\log t}{t^2}dt = -\frac{\log x}{x}

なので、\displaystyle a:=\int_1^{\infty}\frac{\{ t \} (1-\log t)}{t^2}dtは収束して、

\displaystyle \int_x^{\infty}\frac{\{ t \} (1-\log t)}{t^2}dt = O\left( \frac{\log x}{x} \right)

である。 Q.E.D.

漸近公式5 \ \ \ \displaystyle \sum_{2 \leq n \leq x}\frac{1}{n\log n} = O(\log \log x).

証明. \displaystyle a_n = \frac{1}{n} (n \geq 2), \displaystyle\varphi (x) = \frac{1}{\log x}としてAbelの総和法を適用する。このとき、

\displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{1}{n}-1 = O(\log x)

であり、

\displaystyle \sum_{2 \leq n \leq x}\frac{1}{n\log n} = \frac{S(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{S(t)}{t\log^2 t}dt = O(1)+O\left( \int_2^x\frac{dt}{t\log t} \right) = O(\log \log x)

を得る。 Q.E.D.

漸近公式6 \ \ \ \displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{1}{\sqrt{n}} = 2\sqrt{x} + b + O(x^{-\frac{1}{2}}).

bはある定数。
証明. a_n=1, \varphi (x) = x^{-\frac{1}{2}}としてAbelの総和法を適用する。このとき、S(x)=[ x ] であり、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{n \leq x}\frac{1}{\sqrt{n}} &= \frac{[ x ]}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\int_1^x[t ]t^{-\frac{3}{2}}dt =\sqrt{x}-\frac{\{x\}}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\int_1^x\frac{dt}{\sqrt{t}}-\frac{1}{2}\int_1^x\{t \}t^{-\frac{3}{2}}dt\\ &=2\sqrt{x}-\left( 1+\frac{1}{2}\int_1^{\infty}\{t\}t^{-\frac{3}{2}}dt \right)+\frac{1}{2}\int_x^{\infty}\{t\}t^{-\frac{3}{2}}dt-\frac{\{x\}}{\sqrt{x}} \end{split}\end{equation}

を得る。\displaystyle \int_x^{\infty}t^{-\frac{3}{2}}dt=\frac{2}{\sqrt{x}}なので、

\displaystyle \frac{1}{2}\int_x^{\infty}\{t\}t^{-\frac{3}{2}}dt-\frac{\{x\}}{\sqrt{x}} = O(x^{-\frac{1}{2}})

であり、\displaystyle b:=-\left( 1+\frac{1}{2}\int_1^{\infty}\{t\}t^{-\frac{3}{2}}dt \right)は収束する。 Q.E.D.

Shel Silverstein (著), 倉橋 由美子(訳)『続ぼくを探しに ビッグ・オーとの出会い』講談社、1982年

という本がありますが、たぶんLandauのビッグオーとは関係ないと思います。