INTEGERS

フュルステンベルグ(Furstenberg)さんがアーベル賞を受賞されました。

マルグリス(Margulis)さんと共同受賞とのことです。私はマルグリスさんの仕事については殆ど何も知らない(Dの時代に隣の席の人がマルグリスさん関係の仕事で博士号を取ったことぐらいしか知らない)ですが、フュルステンベルグさんの仕事については研究上の興味を持っています。

いつかそれについてどこかで語れたらいいなあと思うのですが、フュルステンベルグさんと言えば学部生時代に素数の無限性の面白い証明を発見したことでも有名で、それについての記事を昔書いていたのですが私自身が非公開化してしまっています。

そこで、今回のアーベル賞受賞を記念して、該当箇所だけ記事を一時的に復元して公開します：

昔の記事の一部の修正版

$X$ を集合、 $\mathcal{O}$ を $X$ の部分集合族とする。 $(X, \mathcal{O})$ が位相空間であるとは次の三条件を満たすときにいう。

$\emptyset, X \in \mathcal{O}$
$O_1, O_2 \in \mathcal{O} \Longrightarrow O_1 \cap O_2 \in \mathcal{O}$
$\displaystyle O_{\lambda} \in \mathcal{O} \ ({}^{\forall}\lambda \in \Lambda) \Longrightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathcal{O}$

$\mathcal{O}$ は元の合併をとるという操作に関しては無限に合併をとっても閉じていますが、元の共通部分をとるという操作に関しては有限個の共通部分に対してしか閉じることが保証されていない点に注意します。

$\mathcal{O}$ が上記三条件を満たすとき、「 $X$ に $\mathcal{O}$ で位相を入れる」などと表現します。 $\mathcal{O}$ のことを $X$ の開集合系とも言います。また、(文脈上、面倒なとき、あるいは大抵の場合) $\mathcal{O}$ を省略して「 $X$ は位相空間である」といったりします。

$\mathcal{O}$ の元のことを開集合といい、 $X$ に関する補集合が開集合となるような $X$ の部分集合のことを閉集合といいます。 $X$ の閉集合全体(閉集合系)を $\mathcal{V}$ と表すと、定義より次の三条件が満たされます。

$\emptyset, X \in \mathcal{V}$
$V_1, V_2 \in \mathcal{V} \Longrightarrow V_1 \cup V_2 \in \mathcal{V}$
$\displaystyle V_{\lambda} \in \mathcal{V} \ ({}^{\forall}\lambda \in \Lambda) \Longrightarrow \bigcap_{\lambda \in \Lambda} V_{\lambda} \in \mathcal{V}$

$\mathcal{V}$ は元の共通部分をとるという操作に関しては無限に共通部分をとっても閉じていますが、元の合併をとるという操作に関しては有限個の合併に対してしか閉じることが保証されていない点に注意します。

位相を使った素数の無限性証明

私が最も美しいと感じた素数の無限性証明を紹介します。これはSzemerédiの定理のエルゴード理論的な証明を与えたことでも有名なFurstenbergが学部生のとき(1955年)に提出した証明です。

Furstenbergによる素数の無限性証明

$0$ でない整数 $a$ および一般の整数 $b$ に対して、

$C_{a,b} := a\mathbb{Z}+b := \{ an+b \mid n \in \mathbb{Z}\}$

で $C_{a,b}$ を定義する。また、 $C_a:=C_{a, 0}$ と略記する。

開集合系 $\mathcal{O}$ を「 $C_{a, b}$ の形をした集合の合併集合全体( $\emptyset$ 含む)」と定義し、整数全体のなす集合 $\mathbb{Z}$ に $\mathcal{O}$ で位相を入れる*1。実際に開集合系の三条件を満たすことを確認しよう：

$\mathbb{Z}=C_1$ に注意すれば、一つ目と三つ目の条件は明らか。

$k \in C_{a,b} \longrightarrow k \equiv b \pmod{a} \longrightarrow C_{a,b}=C_{a,k}$

に注意することにより、

$O \in \mathcal{O} \Longleftrightarrow {}^{\forall}k \in O \$ に対して $\ {}^{\exists}a \neq 0 \ \text{s.t.} \ C_{a,k} \subset O$

が成り立つ。よって、 $O_1, O_2 \in \mathcal{O}$ のとき、任意の $k \in O_1 \cap O_2$ に対して $C_{a_1, k} \subset O_1$ , $C_{a_2, k} \subset O_2$ なる $a_1, a_2$ が存在するので、 $C_{a_1a_2, k} \subset C_{a_1, k} \cap C_{a_2, k} \subset O_1 \cap O_2$ となって、 $O_1 \cap O_2 \in \mathcal{O}$ が分かる。