を
で定義する. ここで,
は集合
の指示関数を表す.
は定数関数
に各点収束する.
調和級数が有限値
に収束したと仮定する.
関数 を
で定義すると, 任意の正整数
と実数
に対して
が成り立っており, 更に
は可積分関数である:
.
よって, Lebesgueの優収束定理によって
と
は等しい.
を
で定義する. ここで,
は集合
の指示関数を表す.
は定数関数
に各点収束する.
調和級数が有限値
に収束したと仮定する.
関数 を
で定義すると, 任意の正整数
と実数
に対して
が成り立っており, 更に
は可積分関数である:
.
よって, Lebesgueの優収束定理によって
と
は等しい.
この定理の証明を解説します。
位相空間に対する閉包、補集合を取る写像
をそれぞれ
と表す*1。また、
は恒等写像とする。合成を積、
を単位元とし、
が生成するモノイドを
と表すことにする。
,
である。
に対して大小関係
を、任意の
に対して
が成り立つことと定める。
かつ
であれば
である。
は包含順序を保つので (
)、
であれば
が成り立つ。
は包含順序を逆転させるので (
)、
であれば
が成り立つ。
内部を取る写像をとすると、
である。任意の
に対して
である。
証明. なので、
よって、の性質より
が成り立つ。なので、
の性質より
の性質より、
よって、の性質より
が成り立つ。、
より
が示された。 Q.E.D.
証明. ,
という性質から
の
以外の任意の元は
と
を交互に繰り返す文字列に還元される。
および8文字以上を使うこのような文字列は補題によって必ず長さを短く還元できるので証明が完了する。 Q.E.D.
として通常の位相を考える。
とせよ。
の14個は全て相異なっている。
*1:閉包(closure)、補集合(complement)ともに頭文字はcであるが、閉包の方はよくで表すので、barのbを採用した。
これは私が1997年12月18日に執筆した物語を記録するものである。
わにたろう
わに子
わにみ(おかあさん)
わにさぶろう(おとうさん)
ちゅん(すずめ)
スーパーきょうわくわるわるくじら王
「わにたろうくんおきて」
わに子はぼうけんのすきな女のわにです。
「またぼうけんか。」
わにたろうはねむそうに言いました。
「わるい。」
わに子がおこって言いました。
「そうだ海できょうそうしない。」
わに子がたずねました。
「うん。いくよ。」
わにたろうが答えました。
「じゃあ行こう。」
わに子がうれしそうに言いました。
二人は北のしままできょうそうしましたが、わにたろうがとちゅうで、
「もうおよげないよう。」
となきました。
わに子は
「もう、しょうがないな。」
といってせなかにのせました。
なんとかしままでつきました。
二人はつかれたのでねむってしまいました。
「わに子なんか音しない。」
わにたろうが言いました。
「え、あ火山だよ。」
二人はおきました。
二人はいそいで南のしまにいこうとしました。
二人は海に入っておよぎました。
南のしまにつきました。
「あれ、火山は、ゆめだったの。」
二人はいっしょに言いました。
「でもおよげたじゃん。」
わに子が言いました。
「まあね。」
わにたろうがじまんそうに言いました。
「あ、はちのすふんじゃった。」
とわにたろうが言いました。
二人はおおいそぎでにげ回りました。
はちはにげました。でも、
「いたいよー。」
わにたろうがさされてしまいました。
がすぐなおりました。
そこへすずめのちゅんがきました。
「いっしょにあそばない。」
わに子が言いました。
「いいよ。」
ちゅんが言いました。
「遠足にいくんじゃなかったの。」
「ちゅうしになったの。」
「じゃんけんしない。」
「でももうおそいから帰るよ。」
ちゅんが言いました。
「バイバイ。」
わに子とわにたろうが言いました。
二人はふねにのって家に帰りました。
「今日はすごいぼうけんだったね。」
わに子が言いました。
「ねえ、おかあさん。」
わに子が言いました。
「なんだい。」
おかあさんのわにみが言いました。
「あのね 今日、すごいぼうけんしたんだよ。」
わにたろうが言いました。
「もう わたしがいおうとしたのに。」
わに子がおこりました。
「けんかしちゃだめよ。」
とおかあさんにいわれ
「はい。」
と二人はちいさいこえで言いました。
二人は家ではなく外でまたねてしまいました。
「ねえ、海にもぐらない。」
わにたろうは言いました。
「うん、いいよ。」
わに子が言いました。
二人はゆめのなかで海にもぐりました。
「ねえねえなにか光ってるよ、いってみない。」
「うんそうだね」
「あっおかねだ。」
二人はよろこんだけどそのとき
「うわー。」
二人はスーパーきょうわくわるわるくじら王にくわれてしまいました。
二人はおなかのなかでないているとさかなたちがきました。
「どうしたんだい、スーパーきょうわくわるわるくじら王にたべられたのかい。」
わにたろうが言いました。
「うんそうなんだよ。」
さかなたちもないてしまいました。
「そうだ、計画をた(て)るんだ。」
さかなたちとわに子とわにたろうは計画をたてています。
「まずしんでいるさかなをつなげてくじらのおなかをたたけばいいと思うけど。」
わにたろうがしんけんになって言いました。
「どうやってつなげるの。」
わに子が言いました。
みんな考えていると
「そうだ、くじらのよだれでひっつけたらいいんだよ。」
さかなたちが言いました。
みんな一づつつくりました。
たたいてみるとまるいあながあいてみんなあなからでると
「やったー。」
とみんな言いましたが、そこはまだくじらのはのところでした。
みんながっかりしたけどつぎのさくせんをきめました。
「わにたろうくんがくじらのはをかんではをおったらいいと思うけど。」
とさかなたちが言いました。
みんなでれました。その時二人はゆめからおきました。
「またゆめだったのか」
二人はいっしょに言いました。
そのときおとうさんのわにさぶろうがしごとから帰ってきて
「こらなにしてんの。」
とおこられました。
「ごめんなさい。」
二人はおとうさんにいってわらいながら帰りました。