tsujimotterさんへ

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k(b)_k}{(c)_kk!}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}$

において $b\mapsto -s$ , $c \mapsto t-n+1$ とおきかえると

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k(-s)_k}{(t-n+1)_kk!}=\frac{(s+t-n+1)_n}{(t-n+1)_n}$

となる。

$\displaystyle (-n)_k=(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}$

および

$\displaystyle \frac{(t-n+1)_n}{(t-n+1)_k}=(t+k-n+1)_{n-k}$

より

$\displaystyle \sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{(-s)_k}{k!}\frac{(t+k-n+1)_{n-k}}{(n-k)!}=\frac{(s+t-n+1)_n}{n!}$

と書き直すことができ、

$\displaystyle \frac{(a)_b}{b!}=(-1)^b\binom{-a}{b}=\binom{a+b-1}{b}$

より

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{s}{k}\binom{t}{n-k}=\binom{s+t}{n}$

となる。

2018-09-11

最密球充填

定理解説整数整数-384

$n$ 次元Euclid空間に合同な $n$ 次元球をオーバーラップがないように充填した際の密度の最大値を $\Delta_n$ とします。現在までに $\Delta_n$ が決定されているものは以下の通りです。

$\begin{align}\Delta_1&=1 \\ \Delta_2&=\frac{\pi}{\sqrt{12}}=0.9068... \\ \Delta_3&=\frac{\pi}{\sqrt{18}}=0.7404... \\ \Delta_8&=\frac{\pi^4}{384}=0.2536... \\ \Delta_{24}&=\frac{\pi^{12}}{12!}=0.001929... \end{align}$

$\Delta_1=1$ だけは簡単にわかりますが*1、 $n=2, 3, 8, 24$ で $\Delta_n$ が決定されていることは著しく感じます。上記の値よりも密な球充填は絶対に存在しないということが数学的に証明されているというのです。想像するだけでその凄さに震えます。我々はどれだけ頑張って八次元空間に $25.4$ %以上八次元球を詰めようと思っても、もはやそれは無駄な努力なのです。

以下、非常に簡単にではありますが、最密球充填にまつわるお話をしようと思います。

球充填密度
ハニカム球充填
Kepler予想
格子
Fourier変換とPoisson和公式
Cohn−Elkiesの定理と魔法関数の存在予想
Viazovskaと魔法関数
参考文献

球充填密度

1.1 $\mathbb{R}^n$ を $n$ 次元Euclid空間とする。Euclid距離を $| \cdot |$ で表し、内積 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ を

$\langle x, y\rangle := \frac{1}{2}\left(|x|^2+|y|^2-|x-y|^2\right)$

と定める。 $\mathrm{Vol}( \cdot )$ をLebesgue測度とする( $n$ は文脈判断で省略)。

1.2 $B_n(x; r)$ を中心 $x$ 、半径 $r$ の $n$ 次元球とする( $x, r \in \mathbb{R}^n$ )。 $V_n(r):=\mathrm{Vol}(B_n(x; r) )$ とすると( $x$ には依存せず)

$\displaystyle V_n(r) = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n$

が成り立つ。n次元球の体積 - INTEGERS

1.3 $\mathcal{P}$ が $n$ 次元球充填であるとは、相異なる二点 $x, y \in X$ に対して $|x-y| \geq 2s$ が成り立つような集合 $X \subset \mathbb{R}^n$ を用いて

$\displaystyle \mathcal{P} = \bigcup_{x \in X}B_n(x; s)$

と表せるときにいう( $s > 0$ )。

1.4 $n$ 次元球充填 $\mathcal{P}$ の密度を

$\displaystyle \Delta_{\mathcal{P}}:=\limsup_{r \to \infty}\frac{\mathrm{Vol}(\mathcal{P} \cap B_n(0; r) )}{V_n(r)}$

と定義する。また、 $\Delta_n$ を

$\displaystyle \Delta_n := \sup_{\mathcal{P}}\Delta_{\mathcal{P}}$

と定める。ただし、 $\mathcal{P}$ は $n$ 次元球充填をわたる。

1.5 次の定理が示されている([Gr])。

定理 (Groemer) 任意の $n$ に対し、或る $n$ 次元球充填 $\mathcal{P}$ が存在して、任意の空でないコンパクト集合 $F \subset \mathbb{R}^n$ および任意の $x \in \mathbb{R}^n$ に対して

$\displaystyle \Delta_n=\lim_{r \to \infty}\frac{\mathrm{Vol}(\mathcal{P} \cap (rF+x) )}{\mathrm{Vol}(rF)}$

が成り立つ。

つまり、最密球充填は必ず存在する。

ハニカム球充填

2.1 正六角形による平面充填を行い各正六角形の内接円を考えることによって二次元球充填 $\mathcal{H}$ が得られる。 $\Delta_{\mathcal{H}}=\frac{\pi}{\sqrt{12}}$ は容易にわかる。

定理ハニカム球充填 $\mathcal{H}$ は最密構造を与える。すなわち、 $\displaystyle \Delta_2=\frac{\pi}{\sqrt{12}}$ が成り立つ。

Thue ([Th])が1890年にこの定理の証明を宣言しているが間違いがあると考えられており、Tóth ([Tó])が1943年に厳密な証明を出版している。ここではHales ([H1])に書かれているRogersのアイデアに基づいた証明を紹介する。

2.2 定理2.1の証明 二次元球充填 $\mathcal{P}$ を任意にとる。半径は $s=1$ であると仮定して一般性を失わない。 $\mathcal{P}$ の各円について半径 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ の同心円を考える(大きい円と呼ぶ)。大きい円が共通内点を持つ場合は二交点と各円の中心を結んで得られる二つの二等辺三角形を考える。

f:id:integers:20180909074231p:plain:w500

$\mathcal{P}$ の円がオーバラップしないことより、二等辺三角形の共通底辺に対する角は $60^{\circ}$ を超えないことに注意。また、三つの大きい円が共通内点を持つことはない。というのも、 $\mathcal{P}$ の三つの円が最も近づいたとしても次のようになっている。

f:id:integers:20180909074417p:plain:w500

よって、二等辺三角形がオーバーラップすることはない。大きい円達の外側からなる集合を $\rule[-1mm]{5mm}{5mm}$ 、考えている二等辺三角形達のなす集合 $\triangle$ 、大きい円の内部から考えている二等辺三角形を引いたもの達からなる集合を $\bigcirc$ とすると、 $\mathbb{R}^2=\rule[-1mm]{5mm}{5mm} \sqcup \triangle \sqcup \bigcirc$ と平面の分割が得られる。各 $\rule[-1mm]{5mm}{5mm}, \triangle, \bigcirc$ における $\mathcal{P}$ の密度がそれぞれ $\frac{\pi}{\sqrt{12}}$ 以下であることを示せばよい。まず、 $\rule[-1mm]{5mm}{5mm}$ における $\mathcal{P}$ の密度は $0$ である。また、 $\bigcirc$ における $\mathcal{P}$ の密度は面積比を考えて $\frac{3}{4}$ であることがわかり、これは $\frac{\pi}{\sqrt{12}}$ より小さい。よって、後は $\triangle$ における $\mathcal{P}$ の密度を考察すればよい。

$\triangle$ の二等辺三角形を一つとって考察する。この二等辺三角形を点 $V$ は固定したまま一辺の長さが $\frac{2}{\sqrt{3}}$ の正三角形に写す線形変換 $T$ を考える。

f:id:integers:20180909092615p:plain:w500

このとき、中心 $V$ の $\mathcal{P}$ の円は $T$ で楕円に写るが、二等辺三角形およびその二等辺三角形と $\mathcal{P}$ の円との共通部分(上図で $V, A, B$ に囲まれる部分)について、 $T$ で変換した後も面積の比は不変である。また、もとの二等辺三角形の等辺の長さは $\frac{2}{\sqrt{3}}$ なので、 $VC=VD=1$ がわかる。よって、考えている密度は正三角形に占める半径 $1$ の扇型 $VCD$ の密度で上から押さえることができる(先ほどの $60^{\circ}$ を超えないという注意から楕円は縦長である)。そして、それは $\frac{\pi}{\sqrt{12}}$ である。

2.3 ハニカム球充填の場合は $\rule[-1mm]{5mm}{5mm} \ =\bigcirc=\varnothing$ であり、線形変換 $T$ は恒等変換である。

Kepler予想

3.1 密度が $\frac{\pi}{\sqrt{18}}$ であるような三次元球充填が存在する。

面心立方格子構造 - Wikipedia
六方最密充填構造 - Wikipedia

これらが最密構造を与えるだろうということは非常に古くから予想されていた(HarriotとKeplerに始まる)。

Kepler予想 $\displaystyle \ \ \ \Delta_3=\frac{\pi}{\sqrt{18}}.$

Gauss ([Ga])は格子球充填(4.6)に限定した場合にKepler予想を解決していた。

3.2 Kepler予想はHalesを主導に証明されているが、この記事では詳細を述べることができない。1998年には証明を宣言し、2005年に核となる論文([H2])が出版されている。彼の証明は複雑なコンピュータ計算を伴うものであるが([HF])、2015年には形式的証明のプロジェクトが成功したことが報告されている。

格子

格子があれば付随する球充填を得ることができる。 $n=8, 24$ の場合には非常に良い格子が存在する。
4.1 $\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ が格子であるとは、 $\mathbb{R}^n$ の $\mathbb{R}$ -線形空間としての基底 $v_1, \dots, v_n$ を用いて

$\displaystyle \Lambda = \mathbb{Z}v_1+\cdots +\mathbb{Z}v_n$

と表されるときにいう。 $\langle v_i, v_j\rangle$ が全て整数であるとき $\Lambda$ は整格子であるといい、 $|v_i|^2$ が全て偶数であるとき $\Lambda$ は偶格子であるという。 $\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)=|\det(v_1, \dots, v_n)|$ が成り立ち、 $\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)=1$ であるとき $\Lambda$ はユニモジュラーであるという。二つの格子が同型であるとは直交線形変換で移り合うときにいう。

4.2 $\mathbb{Z}^n$ はユニモジュラーな整格子であるが、偶格子ではない(奇格子)。

$\displaystyle D_n:=\left\{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{Z}^n \ \left| \ \sum_{i=1}^nx_i \in 2\mathbb{Z}\right. \right\}$

で定義される $D_n$ は偶格子であるが、ユニモジュラーではない。

4.3 $\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ を格子とする。このとき、 $\Lambda$ の双対格子 $\Lambda^{\ast} \subset \mathbb{R}^n$ を

$\displaystyle \Lambda^{\ast}:=\{y \in \mathbb{R}^n \mid \langle x, y\rangle \in \mathbb{Z} \ ({}^{\forall}x \in \Lambda)\}$

で定める。 $\Lambda$ が整格子であれば $\Lambda \subset \Lambda^{\ast}$ が成り立ち、更にユニモジュラーであれば $\Lambda=\Lambda^{\ast}$ が成り立つ(自己双対)。

4.4 $E_8$ -格子 $\Lambda_8 \subset \mathbb{R}^8$ は

$\displaystyle \Lambda_8:=\left\{\left. (x_1, \dots, x_8) \in \mathbb{Z}^8\cup \left(\mathbb{Z}+\frac{1}{2}\right)^8 \ \right| \ \sum_{i=1}^8x_i \in 2\mathbb{Z}\right\}$

と定義することができる。名前の由来は $\Lambda_8$ が $E_8$ -ルート系に付随するルート格子になっていることから。 $\Lambda_8$ の二点間距離は $\sqrt{2k} \ (k=1,2, ...)$ である。次の定理はMordell ([Mo])による。

定理 (Mordell) $n \leq 8$ であれば、ユニモジュラーな整格子は同型を除いて $\mathbb{Z}^n$ および $E_8$ -格子 $\Lambda_8$ しか存在しない。特に、 $\Lambda_8$ は $n \leq 8$ で唯一のユニモジュラーな偶格子である。

4.5 Leech ([Le])はLeech格子 $\Lambda_{24} \subset \mathbb{R}^{24}$ を構成した。 $\widetilde{G}$ を拡張二元Golay符号(解説略)とし、 $L^{\epsilon} \subset \mathbb{Z}^{24} \ (\epsilon \in \{0, 1\})$ を

$\displaystyle L^{\epsilon}:=\left\{(x_1, \dots, x_{24}) \in (2\mathbb{Z})^{24} \ \left| \ \sum_{i=1}^{24}x_i \equiv \epsilon \pmod{2}\right.\right\}$

と定義すると

$\displaystyle \Lambda_{24}:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{(\widetilde{G}+L^0)\cup \left(\widetilde{G}+L^1+\frac{1}{2}\right)\right\}$

はLeech格子の一つの構成となっている。 $\Lambda_{24}$ の二点間距離は $\sqrt{2k} \ (k=2,3, ...)$ である。Conway ([Con])はLeech格子の次の特徴付けを与えた。

定理 (Conway) ルートを持たないユニモジュラーな $24$ 次元偶格子は同型を除いてLeech格子のみである。

4.6 $n$ 次元球充填 $\mathcal{P}$ が格子球充填であるとは、格子 $\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ が存在して $\mathcal{P}$ を構成する球の中心のなす集合が $\Lambda$ に一致するときにいう。 $\Lambda$ による格子球充填 $\mathcal{P}$ を構成する球の半径が $s$ であるとき、

$\displaystyle \Delta_{\mathcal{P}}=\frac{V_n(s)}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)}$

が成り立つ。 $\Lambda$ の二点間最小距離を $r$ とすると、 $s$ として取り得る最大値は $\frac{r}{2}$ である。

4.7 $E_8$ -格子 $\Lambda_8$ の二点間最小距離は $\sqrt{2}$ であり、 $E_8$ -球充填(半径 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ の八次元球による $\Lambda_8$ -格子球充填)の密度は(4.6), (1.2) および $\Lambda_8$ のユニモジュラー性より

$\displaystyle \frac{V_8\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^8/\Lambda_8)}=\frac{\pi^4}{384}$

である。

4.8 Leech格子 $\Lambda_{24}$ の二点間最小距離は $2$ であり、Leech球充填(半径 $1$ の $24$ 次元球による $\Lambda_{24}$ -格子球充填)の密度は(4.6), (1.2) および $\Lambda_{24}$ のユニモジュラー性より

$\displaystyle \frac{V_{24}(1)}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^{24}/\Lambda_{24})}=\frac{\pi^{12}}{12!}$

である。

4.9 $n$ 次元球充填 $\mathcal{P}$ が周期的球充填であるとは、或る格子 $\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ が存在して $\mathcal{P}+x=\mathcal{P}$ が任意の $x \in \Lambda$ に対して成り立つときにいう。

Fourier変換とPoisson和公式

5.1 $\ \ \ f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ のFourier変換 $\widehat{f}$ を

$\displaystyle \widehat{f}(y):=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)e^{-2\pi i\langle x, y\rangle}\mathrm{d}x$

と定義する。

5.2 $\ \ \ f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ がSchwartz関数であるとは、任意の多重指数 $m$ と正整数 $k$ に対して

$\displaystyle \partial_x^mf(x) = O( (1+|x|)^{-k})$

が成り立つときにいう。Schwartz関数全体のなす空間を $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ と書く。 $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ であれば、そのFourier変換についても $\widehat{f} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ である。

5.3 (Poisson和公式) 格子 $\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ , $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ に対して

$\displaystyle \sum_{x \in \Lambda}f(x) = \frac{1}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)}\sum_{y \in \Lambda^{\ast}}\widehat{f}(y)$

が成り立つ。これは一種の双対性である。

5.4 より一般に $t \in \mathbb{R}^n$ に対して

$\displaystyle \sum_{x \in \Lambda}f(x+t) = \frac{1}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)}\sum_{y \in \Lambda^{\ast}}\widehat{f}(y)e^{2\pi i\langle y, t\rangle}$

が成り立つ。

Cohn−Elkiesの定理と魔法関数の存在予想

6.1 $r > 0$ とする。 $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ が( $n$ 次元) $r$ -補助関数であるとは、

$f(0)=\widehat{f}(0) > 0 \tag{6.1.1}$

$f(x) \leq 0 \quad \text{for} \quad |x| \geq r \tag{6.1.2}$

$\widehat{f}(y) \geq 0 \quad \text{for} \quad {}^{\forall}y \in \mathbb{R}^n \tag{6.1.3}$

が成り立つときにいう。 $r$ -補助関数の条件は原点を固定する回転変換で不変なので、必要ならば対称化することによって $f$ は球対称関数( $|x|$ のみに依存する関数)であると仮定してよい。このとき、Fourier変換 $\widehat{f}$ も球対称関数となる。

6.2 Cohn−Elkies ([CE])によって示された次の定理は一般の $n$ に対して $\Delta_n$ を上から押さえることに利用でき、更に $\Delta_8, \Delta_{24}$ を確定させることにも決定的に重要な役割を果たす。

定理 (Cohn−Elkies) $n$ 次元 $r$ -補助関数が存在すれば

$\displaystyle \Delta_n \leq V_n\left(\frac{r}{2}\right)$

が成り立つ。

以下、(6.3)から(6.5)でこの定理を証明する。

6.3 以下、(6.5)まで $n$ 次元 $r$ -補助関数 $f$ が存在すると仮定する。任意の $n$ 次元球充填 $\mathcal{P}$ に対して $\Delta_{\mathcal{P}} \leq V_n\left(\frac{r}{2}\right)$ が成り立つことを示す必要があるが、まず $\mathcal{P}$ が格子球充填の場合を考える。実際は次の(6.4)で周期的球充填の場合の証明に含まれているが、証明のアイデアを見るのによいのでこの節をおく。

$\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ を格子とする。相似拡大・縮小で密度は変わらないので、 $\Lambda$ の二点間最小距離は $r$ であると仮定しても一般性を失わない。 $\Lambda$ -格子球充填として球の半径が最大である $\frac{r}{2}$ の場合に考えれば十分なので、(4.6)より

$\displaystyle \frac{V_n\left(\frac{r}{2}\right)}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)} \leq V_n\left(\frac{r}{2}\right)$

が示すべきことであり、つまり $\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda) \geq 1$ を示せばよい。

$r$ -補助関数 $f$ と格子 $\Lambda$ に対するPoisson和公式(5.3)

$\displaystyle \sum_{x \in \Lambda}f(x) = \frac{1}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)}\sum_{y \in \Lambda^{\ast}}\widehat{f}(y)$

について、原点を除く $\Lambda$ の元は絶対値が $r$ 以上なので、(6.1.2)より左辺は $f(0)$ で上から押さえられる。一方、(6.1.3)より右辺は $\frac{\widehat{f}(0)}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)}$ で下から押さえられる。よって

$\displaystyle f(0) \geq \frac{\widehat{f}(0)}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)}$

がわかるが、(6.1.1)より $\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda) \geq 1$ が得られる。

6.4 周期的球充填の場合を考える。格子 $\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ による周期的球充填 $\mathcal{P}$ を考え、 $\Lambda$ の作用による $\mathcal{P}$ の球の中心の軌道の代表系を $t_1, \dots, t_N$ とする。球の半径は $\frac{r}{2}$ であると仮定して一般性を失わない。このとき、(4.6)と同様に考えて

$\displaystyle \Delta_{\mathcal{P}}=\frac{NV_n\left(\frac{r}{2}\right)}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)}$

が成り立つ。よって、この場合に示すべきことは $\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda) \geq N$ である。 $|X|=X\cdot \overline{X}$ を思い出して、(5.4)を用いると

$\displaystyle \sum_{j, k=1}^N\sum_{x \in \Lambda}f(t_j-t_k+x)=\frac{1}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)}\sum_{y \in \Lambda^{\ast}}\widehat{f}(y)\left| \sum_{j=1}^Ne^{2\pi i\langle y, t_j\rangle}\right|^2$

が成り立つことがわかる。球の半径が $\frac{r}{2}$ なので、 $j\neq k$ または $x\neq 0$ であれば $|(t_j+x)-t_k|\geq r$ であり、(6.1.2)より左辺は $Nf(0)$ で上から押さえられる。また、右辺は $y=0$ のときだけを残すことによって(6.1.3)より $\frac{N^2\widehat{f}(0)}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)}$ で下から押さえられる。従って、

$\displaystyle Nf(0) \geq \frac{N^2\widehat{f}(0)}{\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda)}$

がわかり、(6.1.1)より $\mathrm{Vol}(\mathbb{R}^n/\Lambda) \geq N$ が示された。

6.5 定理1.5で存在する $n$ 次元最密球充填 $\mathcal{P}$ をとる。格子 $\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ を任意にとって $F$ を $\Lambda$ の基本領域とする(つまり、 $\mathbb{R}^n$ は $F$ と合同な多面体で分割されている)。このとき、

$\displaystyle \Delta_n=\lim_{r \to \infty}\frac{\mathrm{Vol}(\mathcal{P} \cap rF)}{\mathrm{Vol}(rF)}$

が成り立つ。よって、 $\varepsilon > 0$ を任意にとったとき $r$ が十分大きければ

$\displaystyle \Delta_n-\frac{\varepsilon}{2} < \frac{\mathrm{Vol}(\mathcal{P} \cap rF)}{\mathrm{Vol}(rF)}$

となる。ここで、 $Q_r$ を $rF$ の境界と交わりを持たない球のみからなる $\mathcal{P} \cap rF$ の部分集合とする。境界部分は次元が落ちているため、 $r$ が十分大きければ

$\displaystyle \frac{\mathrm{Vol}(\mathcal{P} \cap rF)}{\mathrm{Vol}(rF)}-\frac{\mathrm{Vol}(Q_r)}{\mathrm{Vol}(rF)} < \frac{\varepsilon}{2}$

とできる。よって、

$\displaystyle \Delta_n-\varepsilon < \frac{\mathrm{Vol}(Q_r)}{\mathrm{Vol}(rF)}$

を得る。すなわち、 $Q_r$ を単位として繰り返した $r\Lambda$ による周期的球充填を $\mathcal{P}'$ とすれば

$\displaystyle \Delta_n-\varepsilon < \Delta_{\mathcal{P}'}$

であり、(6,4)より

$\displaystyle \Delta_n -\varepsilon < V_n\left(\frac{r}{2}\right)$

が示された。 $\varepsilon > 0$ は任意なので、 $\Delta_n \leq V_n\left(\frac{r}{2}\right)$ が結論付けられた。

6.6 Cohn−Elkiesは $f(x)=P(|x|^2)e^{-\pi |x|^2}$ という形の関数( $P$ は多項式)を用いて数値実験で実際に補助関数を作り、定理6.2を適用することによって多くの $n$ について $\Delta_n$ の上からの評価の新記録を打ち立てた。そして、彼らの実験結果は $n=8, 24$ の場合については定理6.2による評価で予想される $\Delta_n$ の値(それぞれ $E_8$ -球充填、Leech球充填の密度(4.7), (4.8) )に真に到達できるだろうということを示唆していた。

6.7 $\ \ f$ を $n$ 次元 $r$ -補助関数とし、 $\Lambda \subset \mathbb{R}^n$ を二点間最小距離が $r$ の格子とする。このとき、 $\Lambda$ -格子球充填の密度が $V_n(\frac{r}{2})$ に一致するための必要十分条件は $f$ が $\Lambda\setminus\{0\}$ の元を全て零点に持ち、 $\widehat{f}$ が $\Lambda^{\ast}\setminus\{0\}$ の元を全て零点に持つことである。これは、(6.3)の不等式評価において等号が成り立つことと同値であることからわかる。この条件が成り立つとき、Poisson和公式から $f(0)=\widehat{f}(0)$ が成り立つ。

6.8 球対称な $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^8)$ が $8$ -魔法関数であるとは、 $f(1)=1$ , $r=\sqrt{2}$ に対する(6.1.2), (6.1.3)を満たし、 $f$ と $\widehat{f}$ がともに $|x|=\sqrt{2k}, \ (k=1, 2, ...)$ なる $x$ を零点にもつときにいう。 $8$ -魔法関数が存在すれば定理6.2によって $\Delta_8=\frac{\pi^4}{384}$ が確定する。

6.9 球対称な $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{24})$ が $24$ -魔法関数であるとは、 $f(1)=1$ , $r=2$ に対する(6.1.2), (6.1.3)を満たし、 $f$ と $\widehat{f}$ がともに $|x|=\sqrt{2k}, \ (k=2, 3, ...)$ なる $x$ を零点にもつときにいう。 $24$ -魔法関数が存在すれば定理6.2によって $\Delta_{24}=\frac{\pi^{12}}{12!}$ が確定する。

6.10 (6.6)で述べた数値実験による示唆からCohn−Elkiesは次を予想した。

予想(Cohn−Elkies) $8$ -魔法関数および $24$ -魔法関数は存在する。

関数とそのFourier変換について、同時に与えられた零点を持つようにすることが一つの困難であった。

Viazovskaと魔法関数

7.1 $k \geq 4$ を偶数とする。このとき、 $E_k(z)$ をEisenstein級数

$\displaystyle E_k(z) = \frac{1}{2\zeta(k)}\sum_{(c, d) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0, 0)\}}\frac{1}{(cz+d)^k} =1+\frac{2}{\zeta(1-k)}\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{k-1}e^{2\pi i nz}$

とする。 $\zeta(s)$ はRiemannゼータ関数で、 $\displaystyle \sigma_{k-1}(n):=\sum_{d \mid n}d^{k-1}$ 。 $E_k$ は $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ のモジュラー形式ある。

7.2 $E_2(z)$ を

$\displaystyle E_2(z):=1-24\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_1(n)e^{2\pi inz}$

で定める。これはモジュラー形式ではないが、

$\displaystyle \frac{1}{z^2}E_2\left(-\frac{1}{z}\right) = E_2(z)-\frac{6i}{\pi}\cdot \frac{1}{z}$

を満たす準モジュラー形式である。

7.3 三つのテータ関数 $\Theta_{00}(z), \ \Theta_{01}(z), \ \Theta_{10}(z)$ を

$\begin{align} \Theta_{00}(z) &:= \sum_{n \in \mathbb{Z}}e^{\pi in^2z} \\ \Theta_{01}(z) &:= \sum_{n \in \mathbb{Z}}(-1)^ne^{\pi in^2z} \\ \Theta_{10}(z) &:= \sum_{n \in \mathbb{Z}}e^{\pi i\left(n+\frac{1}{2}\right)^2z}\end{align}$

と定義する。 $\Theta_{00}^4, \ \Theta_{01}^4, \ \Theta_{10}^4$ が $\Gamma(2)$ に関する重さ $2$ のモジュラー形式となっている。

7.4 Viazovska ([Vi])は長年懸案であった次の定理を鮮やかに解決した。

定理 (Viazovska) $E_8$ -球充填は最密構造を与える。すなわち、 $\displaystyle \Delta_8=\frac{\pi^4}{384}$ が成り立つ。

7.5 §6の結果により、定理7.4を示すには $8$ -魔法関数が存在することを示せばよいが、Viazovskaは実際に $8$ -魔法関数を次のように構成した。 $\varphi_8(z), \ \psi_8(z)$ をそれぞれ

$\displaystyle \varphi_8:=\frac{4}{5}\cdot \frac{(E_2E_4-E_6)^2}{E_6^2-E_4^3}$

$\displaystyle \psi_8:=\frac{32}{15}\left(\frac{\Theta_{00}^4+\Theta_{01}^4}{\Theta_{10}^8}+\frac{\Theta_{01}^4-\Theta_{10}^4}{\Theta_{00}^8}\right)$

とするとき、 $M_8(x)$ を

$\displaystyle M_8(x):=\pi \sin^2\left(\frac{\pi |x|^2}{2}\right)\int_0^{\infty}\left(t^2\varphi_8\left(\frac{i}{t}\right)-\frac{1}{\pi^2}\psi_8(it)\right)e^{-\pi |x|^2t}\mathrm{d}t$

と定義する。この表示は $|x| > \sqrt{2}$ で収束するが、 $\mathbb{R}^8$ に解析的に延長できる。そうして、(準)モジュラー性を要として、Viazovskaは $M_8(x)$ が実際に $8$ -魔法関数(6.8)になっていることを解析で証明した。

7.6 Viazovskaの手法を元にして、Cohn−Kumar−Miller−Radchenko−Viazovskaによって $24$ 次元の場合も解決された。

定理 ([CKMRV]) Leech球充填は最密構造を与える。すなわち、 $\displaystyle \Delta_{24}=\frac{\pi^{12}}{12!}$ が成り立つ。

7.7 §6の結果により、定理7.6を示すには $24$ -魔法関数が存在することを示せばよい。 $\varphi_{24}(z), \ \psi_{24}(z)$ をそれぞれ

$\displaystyle \varphi_{24}:=\frac{48}{455}\cdot \frac{(25E_4^4-49E_6^2E_4)+48E_6E_4^2E_2+(-49E_4^3+25E_6^2)E_2^2}{(E_4^3-E_6^2)^2}$

$\displaystyle \psi_{24}:=\frac{20736}{455}\cdot \frac{7\Theta_{01}^{20}\Theta_{10}^8+7\Theta_{01}^{24}\Theta_{10}^4+2\Theta_{01}^{28}}{(E_4^3-E_6^2)^2}$

とするとき、 $M_{24}(x)$ を

$\displaystyle M_{24}(x):=\pi \sin^2\left(\frac{\pi |x|^2}{2}\right)\int_0^{\infty}\left(t^{10}\varphi_{24}\left(\frac{i}{t}\right)-\frac{1}{\pi^2}\psi_{24}(it)\right)e^{-\pi |x|^2t}\mathrm{d}t$

と定義する。この表示は $|x| > 2$ で収束するが、 $\mathbb{R}^{24}$ に解析的に延長できる。そうして、(準)モジュラー性を要として、 $M_{24}(x)$ が実際に $24$ -魔法関数(6.9)になっていることが解析で証明される。

以上で最密球充填に関する簡単な解説を終わります。

参考文献

[Con] J. H. Conway, A characterization of Leech’s lattice, Invent. Math. 121 (1969), 119–133.
[Coh] H. Cohn, Conceptual breakthrough in sphere packing, Notices of the American Mathematical Society 64 (2017), 102-115.
[CE] H. Cohn, N. Elkies, New upper bounds on sphere packings I, Annals of Mathematics, 157 (2003), 689–714.
[CKMRV] H. Cohn, A. Kumar, S. Miller, D. Radchenko, M. Viazovska, The sphere packing problem in dimension $24$ , Annals of Mathematics, 185 (3) (2017), 1017–1033.
[Ga] C.F. Gauss, Besprechung des Buchs von L.A. Seeber: Intersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen usw, Göttingsche Gelehrte Anzeigen, (1831).
[Gr] H. Groemer, Existenzsätze für Lagerungen im Euklidischen Raum, Math. Z. 81 (1963), 260–278.
[H1] T. Hales, Cannonballs and honeycombs, Notices of the American Mathematical Society, 47 (4) (1831), 440–449.
[H2] T. Hales, A proof of the Kepler conjecture, Annals of Mathematics, 162 (3) (2005), 1065–1185.
[HF] T. Hales, S. P. Ferguson, The Kepler conjecture, Discrete and Computational Geometry, 36 (1) (2006), 1–269.
[Le] J. Leech, Some sphere packings in higher space, Can. J. Math., 16 (1964), 657–682.
[Mo] L. J. Mordell, The definite quadratic forms in eight variables with determinant unity, J. Math. Pures Appl. 17 (1938), 41–46.
[Th] A. Thue, Über die dichteste Zusammenstellung von kongruenten Kreisen in einer Ebene, Norske Vid. Selsk. Skr. No.1 (1910), 1–9.
[Tó] L. F. Tóth, Über die dichteste Kugellagerung, Math. Z. 48 (1943), 676–684.
[Vi] M. Viazovska, The sphere packing problem in dimension $8$ , Annals of Mathematics, 185 (3) (2017), 991–1015.

丸の内で共にビールを飲みながら§2についてコメントをくださった $\zeta$ Walker氏に感謝致します。

*1:「一次元球」は「線分」です。

2018-09-04

ベルトランの仮説と素数定理に関するエルデシュの証明

整数整数-25 整数-48 整数-2479 素数定理

Bertrandの仮説の主張は次のようなものでした。

Bertrandの仮説 (1845) 任意の自然数 $n$ に対して、 $n < p \leq 2n$ を満たすような素数 $p$ が少なくとも一つ存在する。

ベルトランの仮説 - INTEGERS

Bertrandの仮説で考察している区間 $(n, 2n]$ を $\varepsilon > 0$ に対する $(n, (1+\varepsilon)n]$ に拡張することを考えたとき、次の定理が成立します。

定理１ 任意の $\varepsilon > 0$ に対して $n_0(\varepsilon)$ が存在して、 $n\geq n_0(\varepsilon)$ であれば $n < p \leq (1+\varepsilon)n$ を満たすような素数 $p$ が少なくとも一つ存在する。

ただし、 $n_0(\varepsilon)$ の存在性のみを保証しているこの定理はBertrandの仮説の完全な一般化ではありません。Bertrandの仮説は $n_0(1)=1$ と取れることまで主張しています。

$n_0(\varepsilon)$ として取り得る最小の整数値を考えることにしたとき、幾つかの $\varepsilon$ に対する $n_0(\varepsilon)$ が歴史的に求められてきました。

例えば、

J. Nagura, On the interval containing at least one prime number, Proc. Japan Acad. Ser. A 28 (1952), 177–181.

では $n_0(1/5)=25$ が示されています。また、仮面ライダービルドの第４８話では $n_0(1/8)=48$ が紹介されています。Dusartの結果を利用して、ここでは次の定理を紹介しておきます。

定理 (Dusart) $n_0(1/100)=2479$ である。

証明. Dusart

P. Dusart, The $k$ th prime is greater than $k(\log k + \log \log k − 1)$ for $k \geq 2$ , Math. Comp. 68 (1999), 411–415.

で $x \geq 3725$ であれば

$\displaystyle x \leq p \leq x\left(1+\frac{1}{2\log^2x}\right)$

の間に少なくとも一つは素数が存在することが示されており、 $1+\frac{1}{2\log^23275}=1.0076...$ であることから $n_0(0.01) \leq 3275$ であることがわかる。 $2478\times 1.01$ の整数部分は $2502$ であるが、 $2477$ の次の素数は $2503$ なので、 $n_0(0.01) \geq 2479$ でなければならない。あとは素数列

$\begin{align} &2503, 2521, 2543, 2557, 2579, 2593, 2617, 2633, 2659, 2683, 2707,\\ &2731, 2753, 2777, 2803, 2819, 2843, 2861, 2887, 2909, 2927, 2953, \\ &2971, 2999, 3023, 3049, 3079, 3109, 3137, 3167, 3191, 3221, 3251, \\ &3271, 3299\end{align}$

をみれば $n_0(0.01)=2479$ が確定する。 Q.E.D.

さて、定理１は十分大きい $n$ に対して区間 $(n, (1+\varepsilon)n]$ が少なくとも一つの素数を含むことを主張していますが、より強く任意の正整数 $k$ について、十分大きい $n$ に対して区間 $(n, (1+\varepsilon)n]$ が少なくとも $k$ 個の素数を含むこともいえます。実際、次が成り立ちます。

定理２ 任意の $\varepsilon > 0$ に対して或る $\delta(\varepsilon) > 0, x_0(\varepsilon) > 0$ が存在して、 $x \geq x_0(\varepsilon)$ であれば

$\displaystyle \pi\left( (1+\varepsilon)x\right)-\pi(x) > \frac{\delta(\varepsilon)x}{\log x}$

が成り立つ。ここで、 $\pi(x)$ は素数個数関数。

この定理自体は素数定理から即座に従いますが、素数定理の初等的証明と深い関係があります。

素数定理の初等的証明（予告編） - INTEGERS

において素数定理の初等的証明に関するSelbergとErdősの関係について少し解説しました。彼らの論文に記載の内容をもとに、もう少し詳細に述べると

SelbergがSelbergの漸近公式を証明
ErdősがSelbergの漸近公式を用いた定理２の証明を発見
そのErdősのアイデアとSelbergの漸近公式と定理２を用いてSelbergが最初の素数定理の初等的証明に成功
Selbergが定理２の証明を簡略化
Erdős-Selbergが素数定理の初等的証明を簡略化(証明のアイデアは必要であるが、定理２は不要となる)
Selbergは上(下)極限の概念の使用も排除したSelbergの漸近公式からの素数定理の新しい導出法を発見
二人は独立に論文を出版(!!)

のようになっているようです。6. のSelbergによる証明は上記記事において既に解説しました。この記事では

P. Erdős, On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem, Proc. Nat. Acad. Scis. U.S.A. 35 (1949), 374–384.

に基づいて、2. の証明を解説しようと思います*1。

Erdősによる定理２の証明

漸近挙動は原則 $x \to \infty$ で考える。 $\vartheta(x)$ をChebyshev関数とするとき、ここで使用した不等式を利用することによって定理２は次の定理と同値であることがわかる。

定理３ 任意の $\varepsilon > 0$ に対して或る $\delta(\varepsilon) > 0, x_0(\varepsilon) > 0$ が存在して、 $x \geq x_0(\varepsilon)$ であれば

$\displaystyle \vartheta\left( (1+\varepsilon)x\right)-\vartheta(x) > \delta(\varepsilon)x$

が成り立つ。

次の二つの事実は前提知識として用いる。

Chebyshevの定理 $\displaystyle 0 < \liminf_{x \to \infty}\frac{\vartheta(x)}{x} \leq \limsup_{x \to \infty}\frac{\vartheta(x)}{x} \leq 1.5$ が成り立つ。実際、全ての $x \geq 2$ に対して $\vartheta(x) \leq 1.5x$ が成り立つ。

証明. チェビシェフの定理 - INTEGERS Q.E.D.

Selbergの漸近公式 次の漸近公式が成り立つ。

$\displaystyle \sum_{p \leq x}\log^2 p+\sum_{pq \leq x}\log p\log q=2x\log x+O(x).$

証明. 素数定理の初等的証明（Selbergの漸近公式編） - INTEGERSにおける(1)である。 Q.E.D.

補題１ $x_2 > x_1$ に対して

$\vartheta(x_2)-\vartheta(x_1) \leq 2(x_2-x_1) + O\left(\frac{x_2}{\log x_2}\right)$

が成り立つ。

証明. Selbergの漸近公式から導出できる(ここを参照)。 Q.E.D.

以下、定理３を背理法で証明するため、或る $c > 0$ が存在して、 $x \to \infty$ という状態において

$\vartheta\left( (1+c)x\right)-\vartheta(x)=o(x) \tag{1}$

が成り立つようないくらでも大きい $x$ が存在すると仮定する*2。 $C$ をこのような $c$ の上限とする。このとき、 $C < \infty$ である。理由: Chebyshevの定理より、 $a, A>0$ が存在して、十分大きい $x$ に対して $ax \leq \vartheta(x) \leq Ax$ が成り立つ。このとき、

$\displaystyle \vartheta\left( (1+\varepsilon)x\right)-\vartheta(x) \geq \{(1+\varepsilon)a-A\}x$

が成り立ち、ある程度大きい $\varepsilon > 0$ に対しては(1)の状況にできないことがわかる。

実際には、 $C$ は最大値として実現している。

補題２ $x \to \infty$ で

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)x\right)-\vartheta(x) = o(x)$

となるようないくらでも大きい $x$ が存在する。

証明. $\varepsilon' > 0$ を任意にとり、 $c > C-\frac{\varepsilon'}{2}$ かつ(1)を満たすような $c$ をとる。補題１と(1)より、いくらでも大きい $x$ が存在して

$\begin{align} \vartheta\left( (1+C)x\right) - \vartheta(x) &= \vartheta\left( (1+C)x\right)-\vartheta\left( (1+c)x\right)+\vartheta\left( (1+c)x\right)-\vartheta(x) \\ &\leq 2(C-c)x+o(x) < \varepsilon' x+o(x)\end{align}$

が成り立つ。つまり、 $\vartheta\left( (1+C)x\right) - \vartheta(x) < 2\varepsilon'x$ となるような $x$ が存在する。よって、 $\varepsilon'$ の任意性から結論が得られる。 Q.E.D.

補題３ 補題２における無数の $x$ について、次の漸近公式が成り立つ。

$\displaystyle \sum_{p \leq (1+C)x}\log p\left\{\vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p}\right)\right\}=2Cx\log x+o(x\log x)$

証明. Selbergの漸近公式の差を取ることによって

$\displaystyle \sum_{x < p \leq (1+C)x}\log^2 p+\sum_{x < pq \leq (1+C)x}\log p\log q = 2Cx\log x+o(x\log x)$

が得られる。補題２より

$\displaystyle \sum_{x < p \leq (1+C)x}\log^2 p \leq (1+C)\log x\left\{\vartheta\left( (1+C)x\right)-\vartheta(x)\right\}=o(x\log x)$

であり、

$\begin{align}\sum_{x < pq \leq (1+C)x}\log p\log q&=\sum_{p \leq (1+C)x}\log p\sum_{\frac{x}{p} < q\leq \frac{(1+C)x}{p}}\log q\\ &=\sum_{p \leq (1+C)x}\log p\left\{\vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p}\right)\right\}\end{align}$

と変形できるので所望の漸近公式が示された。 Q.E.D.

これを利用して $(1+C)x$ 以下の素数をbad primeとgood primeに分ける。

補題４ 補題２における無数の $x$ を考える。 $(1+C)x$ 以下の素数の集合を $P_x$ とする。このとき、 $P_x=B_x \sqcup G_x$ と二分する集合 $B_x, G_x$ であって

$\displaystyle \sum_{p \in B_x}\frac{\log p}{p} = o(\log x),\tag{2}$

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p}\right) - \vartheta\left(\frac{x}{p}\right) = 2C\frac{x}{p}+o\left(\frac{x}{p}\right)\quad \text{for} \quad p \in G_x \tag{3}$

を満たすようなものが存在する。

証明. 背理法で証明する。つまり、いくらでも大きい $x$ が存在して、そのような $x$ について、 $x \to \infty$ という状況で、 $\frac{\log p}{p}$ の和が $o(\log x)$ とならないだけ多くの $(1+C)x$ 以下の素数 $p$ に対して(3)の漸近公式が成り立たないとする。必要であればそのような素数達の部分集合をとることによって、或る $A_x \subset P_x$ , $b_1, b_2 > 0$ が存在して

$\displaystyle \sum_{p \in A_x}\frac{\log p}{p} \sim b_1 \log x \tag{4}$

および

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p}\right) - \vartheta\left(\frac{x}{p}\right) < (2C-b_2)\frac{x}{p}\quad \text{for} \quad p \in A_x \tag{5}$

が成り立つと仮定してよい( (3)の否定を考えて(5)で十分なことには補題１を用いている)。(4)とMertensの第一定理から

$\displaystyle \sum_{p \in P_x \setminus A_x}\frac{\log p}{p} \sim (1-b_1)\log x \tag{6}$

が成り立つため、補題１、(4)、(5)、(6)を用いると

$\begin{align} &\sum_{p \leq (1+C)x}\log p\left\{\vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p}\right)\right\} \\ &= \sum_{p \in A_x}\log p\left\{\vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p}\right)\right\}+ \sum_{p \in P_x \setminus A_x}\log p\left\{\vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p}\right)\right\} \\ &< b_1(2C-b_2)x\log x+2C(1-b_1)x\log x+o(x\log x) \\ &=(2C-b_1b_2)x\log x+o(x\log x)\end{align}$

となって補題３に矛盾する。ここで、和 $\sum_{p \in P_x \setminus A_x}$ の部分に補題１を適用して得られる誤差項が $o(x\log x)$ となることには以前証明した漸近公式を使えばよい。 Q.E.D.

補題５ $t > 0$ を任意にとって固定する(いくらでも小さくてよい)。補題２における無数の $x$ を考える。このとき、 $x$ が十分大きければ、補題４における $G_x$ の元 $p_1 < p_2 < \cdots < p_k$ であって $10p_1 < p_k$ および

$(1+t)p_i < p_{i+1} < (1+C)(1+t)^2p_i \quad \text{for} \quad 1 \leq i \leq k-1$

が成り立つようなものが存在する。

証明. 補題２で存在する $x$ であって(適宜)十分大きいものを考える。また、 $B > 0$ を十分大きい数とする。 $0 \leq r \leq \left[\frac{\log x}{2\log B}\right]-1$ に対して、 $I_r:=(B^{2r}, B^{2r+1}) \subset (0, x)$ とする。このとき、 $r$ に依存しない或る $c_1 > 0$ が存在して

$\displaystyle \sum_{p \in I_r}\frac{\log p}{p} > c_1 \tag{7}$

が成り立つ。理由:

$\displaystyle \sum_{p \in I_r}\frac{\log p}{p} \geq \frac{1}{B^{2r+1}}\left\{\vartheta(B^{2r+1})-\vartheta(B^{2r})\right\}$

であるが、Chebyshevの定理より $B$ が十分大きいことから $\vartheta(By)-\vartheta(y) > c_1'y$ が十分大きい $y$ に対して成立するので、 $c_1:=c_1'/B$ と取れることがわかる。

$\displaystyle \#\{r \mid I_r \subset B_x\}=o(\log x) \tag{8}$

である。理由: $c_2 > 0$ に対して

$\displaystyle \#\{r \mid I_r \subset B_x\} > c_2\log x$

であれば、(7)より $\displaystyle \sum_{p \in B_x}\frac{\log p}{p} > c_1c_2\log x$ となって、(2)に矛盾する。 (8)より、少なくとも $\frac{\log x}{4\log B}$ 以上の $r$ について $I_r \cap G_x\neq \varnothing$ である。そのような $r$ について $p_1^{(r)}$ を $I_r \cap G_x$ の最小素数とする。今、そのような全ての $r$ について

$(1+t)p_i^{(r)} < p_{i+1}^{(r)} < (1+C)(1+t)^2p_i^{(r)} \tag{9}$

が $1 \leq i \leq j-1$ で成り立つような $p_j^{(r)} \leq 10p_1^{(r)}$ である $G_x$ の元 $p_1^{(r)} < \cdots < p_j^{(r)}$ が存在するが、 $i=j$ で(9)が成立するような $p_{j+1}^{(r)}$ が存在しないと仮定しよう( $j$ は $r$ 依存)。このとき、

$\displaystyle J^{(r)}:=\left[(1+t)p_j^{(r)}, (1+C)(1+t)^2p_j^{(r)}\right]$

とすると $J^{(r)} \subset B_x$ である。 $z=(1+t)p_j^{(r)}$ とおくと、

$\displaystyle \sum_{p \in J^{(r)}}\log p = \vartheta\left( (1+C)(1+t)z\right)-\vartheta(z)$

であり、 $(1+C)(1+t) > 1+C$ であるから、 $C$ の最大性より或る $c_3$ が存在して

$\displaystyle \sum_{p \in J^{(r)}}\log p > c_3(1+C)(1+t)^2p_j^{(r)}$

が成り立つ( $c_3$ は $C, t$ 以外には依存しない)。よって、

$\displaystyle \sum_{p \in J^{(r)}}\frac{\log p}{p} > c_3 \tag{10}$

が成り立つ。さて、 $p_j^{(r)} \leq 10p_1^{(r)} \leq 10B^{2r+1}$ および $10(1+C)(1+t)^2 < B$ (と $B$ をとっておくことに)より

$(1+C)(1+t)^2p_j^{(r)} < B^{2r+2}$

なので、 $J^{(r)} \subset (B^{2r}, B^{2r+2})$ である。よって、少なくとも $\frac{\log x}{4\log B}$ 以上の $r$ 達 $r_1, r_2, \dots$ について、 $J^{(r_1)}, J^{(r_2)}, \dots$ は重なりがない。従って、(10)より

$\displaystyle \sum_{p \in B_x}\frac{\log p}{p} > \frac{c_3\log x}{4\log B}$

が得られた。これは(2)から(十分大きい $x$ については)許容されていない。よって、背理法により主張が示された。 Q.E.D.

補題５の状況の $x$ および $p_1 < p_2 < \cdots < p_k$ をとる。 $\frac{x}{p_{i}} < (1+C)\frac{x}{p_{i+1}}$ であるような $i$ については

$\displaystyle \vartheta\left(\frac{x}{p_i}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p_{i+1}}\right)=2\left(\frac{x}{p_i}-\frac{x}{p_{i+1}}\right)+o\left(\frac{x}{p_i}\right) \tag{11}$

が成り立つ。理由: 成り立たないと仮定する。このとき、補題１より $d_1 > 0$ が存在して

$\displaystyle \vartheta\left(\frac{x}{p_i}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p_{i+1}}\right) < (2-d_1)\left(\frac{x}{p_i}-\frac{x}{p_{i+1}}\right) \tag{12}$

となる。 $p_{i+1} \in G_x$ より

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p_{i+1}}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p_{i+1}}\right) = 2C\frac{x}{p_{i+1}}+o\left(\frac{x}{p_{i+1}}\right)$

なので、(12)と合わせて

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p_{i+1}}\right) - \vartheta\left(\frac{x}{p_i}\right) > 2C\frac{x}{p_{i+1}}+o\left(\frac{x}{p_{i+1}}\right)-(2-d_1)\left(\frac{x}{p_i}-\frac{x}{p_{i+1}}\right)$

となる。 $d_2 > 0$ が存在して

$\displaystyle 2C\frac{x}{p_{i+1}}-(2-d_1)\left(\frac{x}{p_i}-\frac{x}{p_{i+1}}\right) > (2+d_2)\left\{(1+C)\frac{x}{p_{i+1}}-\frac{x}{p_i}\right\} \tag{13}$

が成り立てば補題１に矛盾する。(13)は

$\displaystyle -d_1\frac{x}{p_{i+1}}+d_1\frac{x}{p_i} > d_2(1+C)\frac{x}{p_{i+1}}-d_2\frac{x}{p_i}$

すなわち、

$\displaystyle p_{i+1} > \left(1+\frac{d_2}{d_1+d_2}C\right)p_i$

と同値である。 $p_{i+1} > (1+t)p_i$ なので、 $d_2$ を十分小さく取ればこれは成立する。 $i=1$ に対する(11)と $p_1 \in G_x$ より成立する式

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p_1}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p_1}\right)=2C\frac{x}{p_1}+o\left(\frac{x}{p_1}\right)$

を組み合わせることにより、

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p_1}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p_2}\right) = 2\left\{(1+C)\frac{x}{p_1}-\frac{x}{p_2}\right\}+o\left(\frac{x}{p_1}\right) \tag{14}$

が得られる。 $(1+C)\frac{x}{p_{i+1}} \leq \frac{x}{p_i}$ であるような $i$ については

$\displaystyle \vartheta\left(\frac{x}{p_i}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p_{i+1}}\right)\geq 1.9\left(\frac{x}{p_i}-\frac{x}{p_{i+1}}\right) \tag{15}$

が成り立つ。理由: $p_{i+1} \in G_x$ なので

$\displaystyle \vartheta\left(\frac{x}{p_i}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p_{i+1}}\right) \geq \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p_{i+1}}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p_{i+1}}\right) =2C\frac{x}{p_{i+1}}+o\left(\frac{x}{p_{i+1}}\right)$

と評価できる。よって、

$\displaystyle 2C\frac{1}{p_{i+1}} > 1.9\left(\frac{1}{p_i}-\frac{1}{p_{i+1}}\right)$

が成り立てばよいが、 $\frac{1}{p_i} < (1+C)(1+t)^2\frac{1}{p_{i+1}}$ なので

$2C > 1.9(2t+t^2+C(1+t)^2)$

がいえればよい。右辺は $t \to 0$ で $1.9C$ に収束するので、十分小さい $t$ についてこれは成立している。 $i=1$ の場合の(15)に $p_1 \in G_x$ より成立する式

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p_1}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p_1}\right) > 1.9C\frac{x}{p_1}$

を合わせることによって

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p_1}\right)-\vartheta\left(\frac{x}{p_2}\right) > 1.9\left\{(1+C)\frac{x}{p_1}-\frac{x}{p_2}\right\} \tag{16}$

が得られる。(14)または(16)に(11)または(15)をtelescopingすると

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p_1}\right) - \vartheta\left(\frac{x}{p_k}\right) > 1.9\left\{(1+C)\frac{x}{p_1}-\frac{x}{p_k}\right\} \tag{17}$

を得る。 $10p_1 < p_k$ より

$\displaystyle 1.9\left\{(1+C)\frac{x}{p_1}-\frac{x}{p_k}\right\} > 1.9(0.9+C)\frac{x}{p_1} > 1.6\frac{(1+C)x}{p_1}$

なので( $1.6/1.9=0.84...$ )、(17)より

$\displaystyle \vartheta\left( (1+C)\frac{x}{p_1}\right) > 1.6(1+C)\frac{x}{p_1}$

となる。これはChebyshevの定理に矛盾する。 Q.E.D.

*1:思いましたが、なんかめちゃくちゃ難しいです。補題１を適用した $o(x/p)$ を使った議論は怪しいかもしれません(私が正確に理解できていないという意味)。

*2:正確にいうと、上に非有界な $\mathbb{R}$ 内の実数列 $x_1, x_2, \dots$ が存在して、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\vartheta\left( (1+c)x_n\right)-\vartheta(x_n)}{x_n}=0$ が成り立つということ。以下、同様の言い回しを行う。