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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

0.011010100010100010100010000010100000100... は無理数

数 数-0.011010100010100010100010000010100000100...

bを2以上の整数とし、以下、正の実数をb進法表示で表します。ただし、\cdots r\dot{0}ではなく\cdots (r-1)\dot{(b-1)}を採用します(r \geq 1)。

定理 小数第素数位が1であり、それ以外が0であるような小数
0.011010100010100010100010000010100000100\dots
は無理数である*1。

ここでは、Nasehpourの方法を紹介します*2。

証明. 正の実数rの小数部分0.r_1r_2\cdotsに対して

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r_1+\cdots +r_n}{n}

が存在するとき、その極限値を\mathrm{Av}(r)と表す。

0\leq d \leq b-1に対してA(d, n):=\{1\leq j\leq n \mid r_j=d\}とする。各dに対して極限値\lim_{n \to \infty}\frac{\#A(d, n)}{n}=\omega_dが存在すれば、

\displaystyle \mathrm{Av}(r)=\sum_{d=1}^{b-1}d\omega_d \tag{1}

が成り立つ。理由: 任意に\varepsilon > 0をとる。十分大きいnに対して

\displaystyle \left|\frac{\#A(d, n)}{n}-\omega_d\right| < \varepsilon

が成り立ち、

\displaystyle \frac{r_1+\cdots +r_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{d=0}^{b-1}\sum_{i \in A(d, n)}r_i=\sum_{d=1}^{b-1}d\frac{\#A(d, n)}{n}

なので、

\displaystyle \left|\frac{r_1+\cdots +r_n}{n}-\sum_{d=1}^{b-1}d\omega_d\right| < \frac{b(b-1)\varepsilon}{2}

が得られる。

rが有理数であればrの小数部分は循環小数0.r_1\cdots r_n \dot{q_1}\cdots \dot{q_m}の形になり、このとき

\displaystyle \omega_{q_1}=\cdots = \omega_{q_m}=\frac{1}{m}

であり、d \in \{0, 1, \dots, b-1\} \setminus \{q_1, \dots, q_m\}に対しては\omega_d=0なので、(1)より

\displaystyle \mathrm{Av}(r) = \frac{q_1+\cdots + q_m}{m}

となって、これは正の有理数である(q_1=\cdots =q_m=0は許されていない)。よって、以上の考察から\mathrm{Av}(r) = 0であればrは無理数であるという無理数判定法が得られた*3。

rを0.011010100010100010100010000010100000100\dotsとする。すると、素数密度零補題より

\displaystyle \mathrm{Av}(r) = \lim_{n \to \infty}\frac{\pi(n)}{n}=0

なのでrは無理数である。 Q.E.D.

*1:最初に述べた小数表示のルールに則っていることを確認するために素数の無限性が必要。

*2:P. Nasehpour, A simple criterion for irrationality of some real numbers, arXiv. もちろん、もっと自明に直接的に示すことができますが、一応もう少しgeneralな無理数判定法を一つ提示しています。

*3:逆は成り立たない。

博物ふぇすてぃばる！５で講演してきました

7/21, 22に九段下の科学技術館で『博物ふぇすてぃばる！５』が開催されました：博物ふぇすてぃばる！

博物ふぇすてぃばる！とは
自然科学、生物学、古生物、鉱物、化学、数学、物理学、人文科学、考古学、歴史、天文学、工学などなど
博物学や様々な学術ジャンル、蒐集ジャンルを題材にした
創作・展示・研究の販売・発表イベントです。


こちらのイベントでは主に多数の物販が行われているのですが、講演も行われており『素数と友達になろう』と題して計四回講演させていただきました*1。

というのも、博物ふぇすてぃばる！５の今年のイメージ博物がなんと「素数」だったのです！

博物ふぇすてぃばる！４のイメージ博物は「放散虫」だったそうなのですが、今年のイメージ博物はとても抽象的な概念が選ばれたことに驚きました。

素数のことであれば任せてくれ！と講演を引き受けたのはいいものの、ロマンティック数学ナイトやMATH POWERのような数学好きが集まる場所ではないため、上手く講演出来るかどうかは正直とても不安でした。

上手なイラストなども用意できないため、とてもシンプルなスライドのもと、トーク力だけで勝負してきました。

結果的には好評だったのではないかなと思います。特別意識したことは「難しいことは出来るだけ言わずに(証明など言語道断)、数式も極力出さないまま整数や素数の魅力を伝える」ことです。これは普段の私の講演スタイルとは全く異なります。(このブログを見ていただいてもわかる通り、普段は証明こそが大切であるというスタンスです)

このような工夫を行ったためにある程度うまくいったのだと思っていますが、子どもに楽しんで貰えるかどうかは全く自信がありませんでした。やはり子どももたくさん来ていたので、彼らに楽しんで貰えるかが一番心配だったのです。

ですが、講演しながら観客の方を眺めていると、楽しそうに聞いてくれている子ども達がいました！

講演ではフェルマーのサンドウィッチ定理*2を紹介したのですが、26が大変気に入った少年がいて、講演後に「26には他にどんな性質があるの？」ととてもワクワクした感じで聞いてきてくれたのです。

二乗して回文数になる最小の非回文数であるとか、26の性質を幾つか話したりしているときの彼の笑顔を私は一生忘れられないでしょう。

子どもの遊び道具には事欠かなさそうに思える現代において、整数や素数といった非常に抽象的な対象に興味を持ってもらうことができたなら今回のアウトリーチ活動は成功であったと言えると思います。


実は講演だけではなく、素数大富豪を体験出来るブースも作っていただいて多数のお客様にプレイしていただきました。

数多くの素数大富豪仲間に助けていただいたおかげで上手くまわすことができました。私は講演があるため席をはずすことが多かったのですが、今回は子ども達に素数大富豪を楽しんでもらうことに力を入れました。

むかしの記事

integers.hatenablog.com

で

twitterで公開後、エゴサーチをするようになり、自分の知らない人達が素数大富豪で遊んでいる様子を知ることができるようになりました。自分の作ったゲームを知らない人達が遊ぶ。これは本当に嬉しいことでした。大変に嬉しいのですが、ある欲が出てきてしまいました。素数大富豪で遊んでくれている人のプロフィール欄を見ると、大抵数学科だったのです。京大や東大の数学科の人が多かったと思います。そういうハイレベルな人達が素数大富豪を遊んでくれたらとても高度な戦いが期待できるし、それはとても嬉しい。でも、素数大富豪の真骨頂はその遊びやすさにあると思っています。文系の人だって高校生だって中学生だって、いや、小学生だって遊べるはずなのです！！

「いやいや、流石に素数を習っていない小学生には無理だろう」と思われるかもしれません。しかし、私が大富豪に初めてハマったのは小学生のとき。素数大富豪は大富豪に比べて特別難しいゲームではありません。素数を習っていなくても素数大富豪で初めて素数に触れることだって可能なはずなのです。それは素数の数学的意義を知らずに「911は素数なんだよ〜」という状態になってしまうと想像できますが、「素読」の有効性が高いという話を思い出せば、早い段階で素数に触れておく、素数を好きになって貰うことは何らかのプラスになるかもしれません。

と書きましたが、今でも気持ちは変わっていません。今回、何人かの小学生と素数大富豪で遊びましたが、何回も何回も遊んでくれた子もいました。これからも時々思い出して遊んでくれれば嬉しいなと思います。


ちなみに博物ふぇすてぃばる！５では素数グッズが多数売られていたのでゲットしました！来年も行きたいです！

それでは私は本日から台湾へ出張してまいります。

*1:定められた手続きに基づいて受け入れ研究者の許可を得ています。

*2:平方数と立方数に挟まれているような正整数は26のみであるという定理。参考記事: corollary2525.hatenablog.com