インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

アペリー数の超合同式

定理解説

8/24に投稿されたRosenのプレプリントでApéry数に関する次の美しい超合同式*1が示されています:

定理 (Rosen) 7以上の素数pに対して*2
\displaystyle u_{p-1} \equiv \frac{2}{\binom{2p}{p}} \pmod{p^5}
が成立する。ここで、u_nはApéry数を表す。

Apéry数については
integers.hatenablog.com
を参照してください。

1980年出版の論文でChowla-Cowles-Cowlesはp \geq 5に対して

\displaystyle u_{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}

を示しており、今回のRosenの超合同式はCCCの一般化となっています。

この記事に証明を書きますが、どちらかというと自分用で、self-containedには書かれていません。

若干の数値例

p=5

\displaystyle \binom{10}{5}u_4 -2 = 252\times 33001 -2 = 8316250 = 5^4 \times 13306

p=7

\displaystyle \binom{14}{7}u_6-2 = 3432\times 21460825-2 =73653551398=7^5 \times 4382314

p=11

\begin{align} \binom{22}{11}u_{10} -2&= 705432\times 13657436403073-2 \\ &= 9634392676692592534 \\ &= 11^5\times 59821998476834\end{align}

p=13

\begin{align} \binom{26}{13}u_{12} -2&=10400600\times 12073365010564729-2\\ &=125570240128879520437398\\ &=13^5\times 338197165389273486\end{align}

p=17

\begin{align} \binom{34}{17}u_{16} -2&=2333606220\times 10534522198396293262825 -2 \\ &= 24583426526905663983072514771498 \\ &= 17^5\times 17314015796594772560245514\end{align}

p=19

\begin{align} \binom{38}{19}u_{18} -2&=35345263800\times 10217699252454924737153425-2\\ &=361147275507082112443833467698514998 \\ &= 19^5\times 145853326344012138627669357202\end{align}

p=23

\begin{align} \binom{46}{23}u_{22} -2&=8233430727600\times 10112862370204493589226059105073-2\\ &= 83263551782831444213131047338361795241114798\\ &= 23^5\times 12936469013977571458378002436843685186\end{align}

p=29

\begin{align} \binom{58}{29}u_{28} -2&=30067266499541040\\ &\ \ \ \ \times 10868197045847822233854339973569898723225-2\\ &=326776976947031121833761445674479313414946173744488653998 \\ &= 29^5\times 15931675838688077485749893663903436780403973163302\end{align}

p=31

\begin{align} \binom{62}{31}u_{30} -2=&\ 465428353255261088 \\ &\times 11320115195385966907843180411829810312080825 -2\\=& \ 526870257404834869828950873418785629515815983372659593343\\ &\ 7598 \\ = &\ 31^5\times 1840327914037111578436087306322096766040376060654608\\ &\ 98\end{align}

p=37

\begin{align} \binom{74}{37}u_{36} -2=&\ 1746130564335626209832\\ &\times 13264933862314086588526333019005254963413604768312625-2 \\ =&\ 231623064508772538358489516257776246577233648056281272165\\ &\ 43708822824728998\\ = &\ 37^5\times 3340205470373900617735003444608392431041015557509665\\ &\ 50935991564814\end{align}

p=41

\begin{align} \binom{82}{41}u_{40} -2=&\ 424784580848791721628840\\ &\times 15100268525919986925572504996818177040381209593531087707\\ &\ \ \ \ \ 425-2\\ = &\ 6414361236487123678958219465315020675271389213467069645769\\ &\ 973749483299422362136998\\ =&\ 41^5\times 55364850401810807510926579280076865935483153063745544\\ &\ 753102803271473569398\end{align}

p=43

\begin{align} \binom{86}{43}u_{42} -2=&\ 6637553085023755473070800\\ &\times 16204012637643564134944174573318170906068938798508028723\\ &\ \ \ \ \ 732025-2\\ =&\ 1075549940727549602401465068080831830204729238338725921643\\ &\ 92406035611334012763052369998\\ = &\ 43^5\times 73162460521233437075547087324830168441735638159144772\\ &\ 4974492832602895699077386\end{align}

p=47

\begin{align} \binom{94}{47}u_{46} -2=&\ 1625701140345170250548615520\\ &\times 18842868840510684130726174724393234844121893058638825682\\ &\ \ \ \ \ 059447790225-2\\ =&\ 3063287336139269513223522453358762014547326613787534183559\\ &\ 9001244471673308866309426597139291998 \\ = &\ 47^5\times 13356677680535986175724865261002878578243155796225963\\ &\ 5482707505572474369624564398851714\end{align}

有限調和和とWolstenholmeの定理

自然数N, k_1, \dots, k_rに対して、有限調和和H_N(k_1, \dots, k_r) \in \mathbb{Q}

\displaystyle H_N(k_1, \dots, k_r) := \sum_{N \geq k_1 > \cdots > k_r \geq 1}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}

と定義します。H_N(1)=H_Nは調和数です。

5以上の素数pに対して成り立つ合同式

H_{p-1}(1) \equiv 0 \pmod{p^2} ー①

Wolstenholmeの定理といい、
integers.hatenablog.com
で証明しました(しばらくp \geq 5)。

証明では

\displaystyle H_{p-1}(2) \equiv 0 \pmod{p} ー②

を用いたことを思い出しておきます。

文献によっては

\displaystyle \binom{2p}{p} \equiv 2 \pmod{p^3} ー③

や、少し変形した

\displaystyle \binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}

のことをWolstenholmeの定理と呼んでいますが、これらは実質的に同値です。

補題1 自然数pに対して*3
\displaystyle \binom{2p}{p} = 2\sum_{n=0}^{p-1}p^nH_{p-1}(\underbrace{1, \dots, 1}_{n})
が成り立つ。

証明. 次のように計算できる:

\begin{align}\binom{2p}{p} &= 2\cdot \frac{(p+1)(p+2)\cdots (p+(p-1))}{1\cdot 2\cdots p-1} \\ &= 2\left( 1+\frac{p}{1} \right) \left( 1+\frac{p}{2} \right) \cdots \left( 1+\frac{p}{p-1} \right) \\ &= 2\sum_{n=0}^{p-1}p^nH_{p-1}(\underbrace{1, \dots, 1}_{n}).\end{align}

Q.E.D.

また、p\geq 5とします。補題1より、

\displaystyle \binom{2p}{p} \equiv 2(1+pH_{p-1}(1)+p^2H_{p-1}(1, 1)) \pmod{p^3}

が成り立ちます。

\displaystyle H_N(1)^2=2H_N(1, 1)+H_N(2)

より、

H_{p-1}(2) \equiv 0 \pmod{p} \Longleftrightarrow H_{p-1}(1, 1) \equiv 0 \pmod{p}

なので、③は①+②と同値であることがわかりました(実際はp \geq 5で全て成立している)。

よって、Rosenの超合同式は確かにCCCの超合同式の一般化を与えていることがわかりました。

Wolstenholmeの定理の一般化と思える次の命題は有名事実です:

命題 m, kは自然数、pp > mk+1を満たす素数とする。このとき、
\displaystyle H_{p-1}(\underbrace{k, \dots, k}_m) \equiv 0 \pmod{p}
が成り立つ。更に、mkが奇数ならば、p > mk+2を満たす素数pに対して
\displaystyle H_{p-1}(\underbrace{k, \dots, k}_m) \equiv 0 \pmod{p^2}
が成り立つ。

証明

補題2 n2以上の整数とする。このとき、
\displaystyle u_{n-1} = 1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac{n^4}{k^4}-2\frac{n^3}{k^3}+\frac{n^2}{k^2}\right) \left( \sum_{i=0}^{k-1}(-1)^in^{2i}H_{k-1}(\underbrace{2, \dots, 2}_{i})\right)^2
が成り立つ。

証明.

\begin{align}u_{n-1} &= \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}^2\binom{n+k-1}{k}^2 \\ &= 1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac{n-k}{k} \right)^2 \left\{ \left( 1-\frac{n}{1} \right) \cdots \left( 1-\frac{n}{k-1} \right) \right\}^2 \times \frac{n^2}{k^2} \left\{ \left( 1+\frac{n}{1} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{k-1} \right)\right\}^2 \\ &= 1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac{n-k}{k} \right)^2 \frac{n^2}{k^2} \left\{ \left( 1-\frac{n^2}{1^2} \right) \cdots \left( 1-\frac{n^2}{(k-1)^2}\right) \right\}^2 \\ &= 1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac{n^4}{k^4}-2\frac{n^3}{k^3}+\frac{n^2}{k^2}\right) \left( \sum_{i=0}^{k-1}(-1)^in^{2i}H_{k-1}(\underbrace{2, \dots, 2}_{i})\right)^2.\end{align}

Q.E.D.

あとは補題2にn=pを代入して補題1と掛け合わせれば手でも計算機でも計算できると書いていますが、実際にやってみましょう(pは素数)。

補題2より

\begin{align} u_{p-1} &= 1+\sum_{k=1}^{p-1}\left( \frac{p^4}{k^4}-2\frac{p^3}{k^3}+\frac{p^2}{k^2} \right) \left( \sum_{i=0}^{k-1}(-1)^ip^{2i}H_{k-1}(\underbrace{2, \dots, 2}_{i})\right)^2 \\ &\equiv 1+\sum_{k=1}^{p-1}\left( \frac{p^4}{k^4}-2\frac{p^3}{k^3}+\frac{p^2}{k^2} \right)(1-p^2H_{k-1}(2))^2 \\ &\equiv 1+\sum_{k=1}^{p-1}\left( \frac{p^4}{k^4}-2\frac{p^3}{k^3}+\frac{p^2}{k^2} \right)(1-2p^2H_{k-1}(2)) \\ &\equiv 1+\sum_{k=1}^{p-1}\left( \frac{p^4}{k^4}-2\frac{p^3}{k^3}+\frac{p^2}{k^2}-2\frac{p^4}{k^2}H_{k-1}(2)\right) \\ &\equiv 1+p^4H_{p-1}(4)-2p^3H_{p-1}(3)+p^2H_{p-1}(2)-2p^4H_{p-1}(2, 2)\pmod{p^5}\end{align}

が得られます。よって、p \geq 7ならば命題より

u_{p-1} \equiv 1+p^2H_{p-1}(2) \pmod{p^4}

が成り立つことがわかります。一方、補題1および命題より

\begin{align} \binom{2p}{p} &\equiv 2(1+pH_{p-1}(1)+p^2H_{p-1}(1, 1)+p^3H_{p-1}(1, 1, 1)+p^4H_{p-1}(1, 1, 1, 1)) \\ &\equiv 2(1+pH_{p-1}(1)+p^2H_{p-1}(1, 1)) \pmod{p^5}\end{align}

p \geq 7で成立します。従って(以下ずっとp \geq 7)、

\begin{align}\frac{1}{2}\binom{2p}{p}u_{p-1} &\equiv 1+pH_{p-1}(1, 1)+p^2H_{p-1}(2)+p^2H_{p-1}(1, 1)+p^3H_{p-1}(1)H_{p-1}(2) \\ & \ \ \ \ \ + p^4H_{p-1}(1, 1)H_{p-1}(2) \\ &\equiv 1+pH_{p-1}(1)+p^2(H_{p-1}(2)+H_{p-1}(1, 1)) \pmod{p^5}.\end{align}

ここで、

H_{p-1}(1)^2 = 2H_{p-1}(1, 1)+H_{p-1}(2)

より

H_{p-1}(1, 1)+H_{p-1}(2) \equiv -H_{p-1}(1, 1) \pmod{p^4}

であるから、後は

H_{p-1}(1)\equiv pH_{p-1}(1, 1) \pmod{p^4}

を確認すれば終わり(これを\bmod{p^2}に制限したものが実質的にWolstenholmeの定理)。例えば、Rosenの博士論文で示されているp進関係式

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}p^nH_{p-1}(\underbrace{1, \dots, 1}_{n})=0

を用いれば

\displaystyle H_{p-1}(1)-pH_{p-1}(1, 1)+p^2H_{p-1}(1, 1, 1)-p^3H_{p-1}(1, 1, 1, 1) \equiv 0 \pmod{p^4}

が得られ、命題よりp \geq 7ならば

\displaystyle H_{p-1}(1)-pH_{p-1}(1, 1) \equiv 0 \pmod{p^4}

が得られます。 これで、冒頭の超合同式が証明されました。

*1:素数pの二乗以上の冪乗に対する合同式のことを専門家達はsupercongruenceと呼んでいます。

*2:プレプリントではp \geq 5と書いていますが、p=5では成り立ちません。Rosenにメールを送っておきました。

*3:素数でなくてもこの式は成立しますが、素数についてしか用いないのでpで記述しています。

ジョルダンのトーシェント関数

Jordanのトーシェント関数J_k(n)は次のように定義されます:

定義1 k, nを自然数とするとき、
\displaystyle J_k(n) := n^k \prod_{p \mid n}\left( 1-\frac{1}{p^k} \right)
J_k(n)を定義し、Jordanのトーシェント関数と呼ぶ。

pと書けば素数です。

k=1のときEulerのトーシェント関数\varphi (n)に一致します(J_1(n) = \varphi(n))。
integers.hatenablog.com

名前についているJordanはJordanの曲線定理などで有名なあのJordanです。

定義から、J_k(1)=1, \ J_k(2) = 2^k-1であり*1n \geq 3のときJ_k(n)は常に偶数であることがわかります。Jordanのトーシェント関数はEulerのトーシェント関数およびMersenne数の同時一般化とも言えるでしょう。
integers.hatenablog.com

J_2(n)およびJ_3(n)1 \leq n \leq 30における値は次のようになっています:

J_2(n) \ (1 \leq n \leq 30)

\begin{align}&J_2(1)= 1, \ J_2(2)= 3, \ J_2(3)= 8, \ J_2(4)= 12, \ J_2(5)= 24, \\
&J_2(6)= 24, \ J_2(7)= 48, \ J_2(8)= 48, \ J_2(9)= 72, \ J_2(10)= 72, \\
&J_2(11)= 120, \ J_2(12)= 96, \ J_2(13)= 168, \ J_2(14)= 144, \ J_2(15)= 192,\\
&J_2(16)= 192, \ J_2(17)= 288, \ J_2(18)= 216, \ J_2(19)= 360, \ J_2(20)= 288,\\
&J_2(21)= 384, \ J_2(22)= 360, \ J_2(23)= 528, \ J_2(24)= 384, \ J_2(25)= 600,\\
&J_2(26)= 504, \ J_2(27)= 648, \ J_2(28)= 576, \ J_2(29)= 840, \ J_2(30)= 576\end{align}


J_3(n) \ (1 \leq n \leq 30)

\begin{align}&J_3(1)= 1, \ J_3(2)= 7, \ J_3(3)= 26, \ J_3(4)= 56, \ J_3(5)= 124,\\
&J_3(6)= 182, \ J_3(7)= 342, \ J_3(8)= 448, \ J_3(9)= 702, \ J_3(10)= 868,\\
&J_3(11)= 1330, \ J_3(12)= 1456, \ J_3(13)= 2196, \ J_3(14)= 2394, \ J_3(15)= 3224,\\
&J_3(16)= 3584, \ J_3(17)= 4912, \ J_3(18)= 4914, \ J_3(19)= 6858, \ J_3(20)= 6944,\\
&J_3(21)= 8892, \ J_3(22)= 9310, \ J_3(23)= 12166, \ J_3(24)= 11648, \ J_3(25)= 15500,\\
&J_3(26)= 15372, \ J_3(27)= 18954, \ J_3(28)= 19152, \ J_3(29)= 24388, \ J_3(30)= 22568\end{align}


J_k(n)は次の式で特徴付けられます:

命題 \displaystyle \ \ \ \sum_{d \mid n}J_k(n) = n^k.

証明. Jordanのトーシェント関数の定義から

\displaystyle J_k(n) = \sum_{d\mid n} \mu (d)\frac{n^k}{d^k}

なので、
integers.hatenablog.com
Möbiusの反転公式(その一)から所望の等式が従う。 Q.E.D.


Dedekindの\psi関数

\displaystyle \psi (n) = n\prod_{p \mid n} \left( 1+\frac{1}{p} \right)

はJordanのトーシェント関数で

\displaystyle \psi (n) = \frac{J_2(n)}{J_1(n)}

と書けます。これを受けて、一般化Dedekind-\psi関数は次のように定義されます:

定義2 k, nを自然数とするとき、
\displaystyle \psi_k(n) := \frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)} = n^k \prod_{p \mid n}\left( 1+\frac{1}{p^k} \right)
\psi_k(n)を定義し、一般化されたDedekindの\psi関数と呼ぶ。

\psi (n) \ (1 \leq n \leq 30)

\begin{align}&\psi (1)= 1, \ \psi (2)= 3, \ \psi (3)= 4, \ \psi (4)= 6, \ \psi (5)= 6,\\
&\psi (6)= 12, \ \psi (7)= 8, \ \psi (8)= 12, \ \psi (9)= 12, \ \psi (10)= 18,\\
&\psi (11)= 12, \ \psi (12)= 24, \ \psi (13)= 14, \ \psi (14)= 24, \ \psi (15)= 24,\\
&\psi (16)= 24, \ \psi (17)= 18, \ \psi (18)= 36, \ \psi (19)= 20, \ \psi (20)= 36,\\
&\psi (21)= 32, \ \psi (22)= 36, \ \psi (23)= 24, \ \psi (24)= 48, \ \psi (25)= 30,\\
&\psi (26)= 42, \ \psi (27)= 36, \ \psi (28)= 48, \ \psi (29)= 30, \ \psi (30)= 72\end{align}

\psi_2(n) \ (1 \leq n \leq 30)

\begin{align}&\psi_2(1)= 1, \ \psi_2(2)= 5, \ \psi_2(3)= 10, \ \psi_2(4)= 20, \ \psi_2(5)= 26,\\
&\psi_2(6)= 50, \ \psi_2(7)= 50, \ \psi_2(8)= 80, \ \psi_2(9)= 90, \ \psi_2(10)= 130,\\
&\psi_2(11)= 122, \ \psi_2(12)= 200, \ \psi_2(13)= 170, \ \psi_2(14)= 250, \ \psi_2(15)= 260,\\
&\psi_2(16)= 320, \ \psi_2(17)= 290, \ \psi_2(18)= 450, \ \psi_2(19)= 362, \ \psi_2(20)= 520,\\
&\psi_2(21)= 500, \ \psi_2(22)= 610, \ \psi_2(23)= 530, \ \psi_2(24)= 800, \ \psi_2(25)= 650,\\
&\psi_2(26)= 850, \ \psi_2(27)= 810, \ \psi_2(28)= 1000, \ \psi_2(29)= 842, \ \psi_2(30)= 1300\end{align}

GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})およびSL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})の位数

GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})およびSL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})の位数はJordanのトーシェント関数で書けます(Jordan自身が証明):

定理 自然数n, mに対して
\begin{align}\#GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=1}^mJ_k(n), \\ \#SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=2}^mJ_k(n)\end{align}
が成り立つ。

GL_1のときを考えると

\displaystyle \#\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right) = \varphi (n)

の一般化と思えます。この節では、この定理の証明を解説します。

補題1 Fを位数qの有限体とすると、
\displaystyle \#GL_m(F) = \prod_{k=0}^{m-1}(q^n-q^k).

証明. GL_m(F)の元をm列の列ベクトルv_1, \dots, v_mを用いて(v_1, \dots, v_m)と表す。このとき、v_1としては0ベクトル以外のq^m-1通りのベクトルがあり得る。v_1を固定して考えると、v_2として取り得るベクトルはv_1の定数倍を除くq^m-q通りの候補がある。次に、v_1, v_2を固定してv_3として取り得るベクトルはv_1v_2F線形結合として書けるベクトルを除くq^m-q^2通りの候補がある。後は推して知るべし。 Q.E.D.

補題2 素数pと自然数eに対して
\begin{align}\#GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) &= p^{em^2}\prod_{k=1}^m\left( 1-\frac{1}{p^k} \right), \\ \#SL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) &= p^{e(m^2-1)}\prod_{k=2}^m\left( 1-\frac{1}{p^k}\right) \end{align}
が成り立つ。

証明. 準同型写像

\varphi \colon M_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \to M_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})

を各成分を\bmod{p}する写像とする。また、G(m; p^e)

G(m; p^e) := \{ A \in M_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \mid \varphi (A) = 1_m\}

で定める。1_m \in GL_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})は単位行列。A \in G(m; p^e)ならば\det (A) \equiv 1 \pmod{p}なので、G(m; p^e)は乗法群をなす。また、定義より

\#G(m; p^e)=p^{(e-1)m^2} ー①

は容易に分かる。さて、完全列

1 \longrightarrow G(m; p^e) \longrightarrow GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \xrightarrow{\varphi \text{の制限}} GL_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \longrightarrow 1

があるので、補題1および①より

\begin{align} \#GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) &= \#G(m; p^e) \times \#GL_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = p^{(e-1)m^2} \times p^{m^2}\prod_{k=1}^m( 1-p^{-k}) \\ &= p^{em^2}\prod_{k=1}^m\left( 1-\frac{1}{p^k} \right)\end{align}

を得る。また、完全列

1 \longrightarrow SL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \longrightarrow GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \xrightarrow{\det} (\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})^{\times} \longrightarrow 1

から

\displaystyle \#SL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) = \frac{\#GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})}{\#(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})^{\times}} = \frac{\displaystyle p^{em^2}\prod_{k=1}^m(1-p^{-k})}{p^e(1-p^{-1})} = p^{e(m^2-1)}\prod_{k=2}^m\left( 1-\frac{1}{p^k} \right)

と計算できる。 Q.E.D.

定理の証明. \displaystyle n=\prod_{p \mid n}p^{e_p}と素因数分解されているとき、中国剰余定理

\displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \prod_{p \mid n}\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}

から自然な同型

\displaystyle GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq \prod_{p \mid n}GL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z})

および

\displaystyle SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq \prod_{p \mid n}SL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z})

が得られる。よって、補題2より

\begin{align}\#GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= \prod_{p \mid n}\#GL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}) = \prod_{p \mid n}p^{e_pm^2}\prod_{k=1}^m \left( 1-\frac{1}{p^k}\right) \\ &= n^{m^2}\prod_{k=1}^m\frac{J_k(n)}{n^k} = \frac{n^{m^2}}{n^{\frac{m(m-1)}{2}}}\prod_{k=1}^mJ_k(n) \\ &= n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=1}^mJ_k(m),\end{align}

\begin{align}\#SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= \prod_{p \mid n}\#SL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}) = \prod_{p \mid n}p^{e_p(m^2-1)}\prod_{k=2}^m \left( 1-\frac{1}{p^k}\right) \\ &= n^{m^2-1}\prod_{k=2}^m\frac{J_k(n)}{n^k} = \frac{n^{m^2-1}}{n^{\frac{m(m-1)}{2}-1}}\prod_{k=2}^mJ_k(n) \\ &= n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=2}^mJ_k(m)\end{align}

と計算できる。 Q.E.D.

Riemannゼータ値の公式

Jordanのトーシェント関数および素数階乗p_n\#
integers.hatenablog.com

を用いたRiemannゼータ値の公式を紹介してこの記事を締めくくりたいと思います:

定理 (Mező, István) k2以上の整数とするとき、
\displaystyle \zeta (k) = 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(p_{n-1}\#)^k}{J_k(p_n)\#} = \frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(p_{n-1}\#)^k}{J_k(p_n)\#}
が成り立つ。ここで、\zeta (k)はRiemannゼータ値、p_nn番目の素数であり、便宜的にp_0\#:=1と定める。

証明. 自然数を

  • 1,
  • 最大の素因数が2,
  • 最大の素因数が3,
  • 最大の素因数が5,

と分類して足し合わせていくことにより、

\displaystyle \zeta (k) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k} = 1+\sum_{j_1=1}^{\infty}\frac{1}{(p_1^{j_1})^k}+\sum_{j_1=0}^{\infty}\sum_{j_2=1}^{\infty}\frac{1}{(p_1^{j_1}p_2^{j_2})^k} + \sum_{j_1=0}^{\infty}\sum_{j_2=0}^{\infty}\sum_{j_3=1}^{\infty}\frac{1}{(p_1^{j_1}p_2^{j_2}p_3^{j_3})^k}+\cdots

と変形できる。一方、等比級数の和の公式により

\begin{align} \sum_{j_1=0}^{\infty}\cdots \sum_{j_{n-1}=0}^{\infty}\sum_{j_n=1}^{\infty} \frac{1}{(p_1^{j_1}\cdots p_n^{j_n})^k} &= \prod_{i=1}^{n-1}\frac{1}{1-p_i^{-k}} \times \frac{p_n^{-k}}{1-p_n^{-k}} \\ &= \frac{1}{p_n^k}\frac{(p_n\#)^k}{J_k(p_n\#)} = \frac{(p_{n-1}\#)^k}{J_k(p_n\#)}\end{align}

と変形できる。組み合わせれば所望の等式が得られる。 Q.E.D.

*1:空集合上の積は1と定めます。

34以上の任意の整数は相異なる三角数の和として表すことができる

33

この記事では標題の主張を証明します。この事実から33は「相異なる三角数の和として表すことのできない最大の整数」という特徴を持っていることがわかります。
証明は
integers.hatenablog.com
で紹介したSierpinskiの補題に基づきます:

補題 (Sierpinski 1955) 自然数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}が次の二条件を満たすと仮定する:

  1. 非負整数rが存在して、n \geq r+1に対してa_{n+1}\leq 2a_nが成り立つ。
  2. 非負整数lが存在して、l\leq N < l+a_{r+1}なる任意の整数NN=\sum_{n=1}^r\epsilon_na_n \ (\epsilon_n \in \{0, 1\})と書ける。

このとき、l以上の任意の整数は数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}の有限個の相異なる項の和として表される(ただし、l=0のときは0個の和=0も含める)。

標題の主張の証明 三角数T_nn \geq 2T_{n+1} \leq 2T_nを満たす。l=34, \ r=8のときにSierpinskiの補題の条件を満たすことを確認すれば試合終了。

\begin{align}&34=6+28 \\
&35 =1+6+28 \\
&36 =36 \\
&37 =1+36 \\
&38 =10+28 \\
&39 =1+10+28 \\
&40 =1+3+36 \\
&41 =3+10+28 \\
&42 =6+36 \\
&43 =1+6+36 \\
&44 = 6+10+28\\
&45 =45 \\
&46 =1+45 \\
&47 =1+10+36 \\
&48 =1+3+6+10+28 \\
&49 =21+28 \\
&50 =1+3+10+36 \\
&51 =6+45 \\
&52 =1+6+45 \\
&53 =1+6+10+36 \\
&54 =3+6+45 \\
&55 =10+45 \\
&56 =1+10+45 \\
&57 =21+36 \\
&58 =1+21+36 \\
&59 =1+3+10+45 \\
&60 =15+45 \\
&61 =1+15+45 \\
&62 =1+6+10+45 \\
&63 =3+15+45 \\
&64 =28+36 \\
&65 =1+28+36 \\
&66 =21+45 \\
&67 =3+28+36 \\
&68 =1+3+28+36 \\
&69 =3+21+45 \\
&70 =10+15+45 \\
&71 =1+10+15+45 \\
&72 =6+21+45 \\
&73 =3+10+15+45 \\
&74 =10+28+36 \\
&75 =1+10+28+36 \\
&76 =10+21+45 \\
&77 =3+10+28+36 \\
&78 =1+3+10+28+36 \end{align}

Q.E.D.

付録: 三角数

平方三角数については昔記事を書いたのですが
integers.hatenablog.com
三角数の数値を載せていなかったので、少し付録として載せておきます。

\begin{align}&T_{1}= 1\\
&T_{2}= 3\\
&T_{3}= 6\\
&T_{4}= 10\\
&T_{5}= 15\\
&T_{6}= 21\\
&T_{7}= 28\\
&T_{8}= 36\\
&T_{9}= 45\\
&T_{10}= 55\\
&T_{11}= 66\\
&T_{12}= 78\\
&T_{13}= 91\\
&T_{14}= 105\\
&T_{15}= 120\\
&T_{16}= 136\\
&T_{17}= 153\\
&T_{18}= 171\\
&T_{19}= 190\\
&T_{20}= 210\\
&T_{21}= 231\\
&T_{22}= 253\\
&T_{23}= 276\\
&T_{24}= 300\\
&T_{25}= 325\\
&T_{26}= 351\\
&T_{27}= 378\\
&T_{28}= 406\\
&T_{29}= 435\\
&T_{30}= 465\\
&T_{31}= 496\\
&T_{32}= 528\\
&T_{33}= 561\\
&T_{34}= 595\\
&T_{35}= 630\\
&T_{36}= 666\\
&T_{37}= 703\\
&T_{38}= 741\\
&T_{39}= 780\\
&T_{40}= 820\\
&T_{41}= 861\\
&T_{42}= 903\\
&T_{43}= 946\\
&T_{44}= 990\\
&T_{45}= 1035\\
&T_{46}= 1081\\
&T_{47}= 1128\\
&T_{48}= 1176\\
&T_{49}= 1225\\
&T_{50}= 1275\\
&T_{51}= 1326\\
&T_{52}= 1378\\
&T_{53}= 1431\\
&T_{54}= 1485\\
&T_{55}= 1540\\
&T_{56}= 1596\\
&T_{57}= 1653\\
&T_{58}= 1711\\
&T_{59}= 1770\\
&T_{60}= 1830\\
&T_{61}= 1891\\
&T_{62}= 1953\\
&T_{63}= 2016\\
&T_{64}= 2080\\
&T_{65}= 2145\\
&T_{66}= 2211\\
&T_{67}= 2278\\
&T_{68}= 2346\\
&T_{69}= 2415\\
&T_{70}= 2485\\
&T_{71}= 2556\\
&T_{72}= 2628\\
&T_{73}= 2701\\
&T_{74}= 2775\\
&T_{75}= 2850\\
&T_{76}= 2926\\
&T_{77}= 3003\\
&T_{78}= 3081\\
&T_{79}= 3160\\
&T_{80}= 3240\\
&T_{81}= 3321\\
&T_{82}= 3403\\
&T_{83}= 3486\\
&T_{84}= 3570\\
&T_{85}= 3655\\
&T_{86}= 3741\\
&T_{87}= 3828\\
&T_{88}= 3916\\
&T_{89}= 4005\\
&T_{90}= 4095\\
&T_{91}= 4186\\
&T_{92}= 4278\\
&T_{93}= 4371\\
&T_{94}= 4465\\
&T_{95}= 4560\\
&T_{96}= 4656\\
&T_{97}= 4753\\
&T_{98}= 4851\\
&T_{99}= 4950\\
&T_{100}= 5050\end{align}