インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

938万桁の新素数発見により10223がSierpinski数でないことが確定

10223

以下のサイトに発見されている巨大素数のトップ10が掲載されています:

primes.utm.edu

f:id:integers:20161206001717p:plain

第1位の2^{74207281}-1は今年の1月に発見が宣言されたもので記事にしました:

integers.hatenablog.com

実は先日新しい巨大素数が発見されたらしいのです!第7位を見てください!

それは9383761桁の素数であり、そのお姿は


10223\cdot 2^{31172165}+1


です!上記表におけるこれ以外の9つの素数は全てMersenne素数です*1

一人だけ10223がついており、何でこんなものを探索していたのか不思議に思われるかもしれませんが、実はこの発見はある未解決問題の解決への進展を意味します。

それは次の問題です:

未解決問題 78557は最小のSierpinski数であるか?

Sierpinski数とはk2^n+1が全ての自然数nに対して合成数となるような正の奇数kのことを言います。78557がSierpinski数であることの証明は以前紹介しました:
integers.hatenablog.com

上記未解決問題を解決するためには、78557未満の全ての正の奇数kがSierpinski数でないことを示せばよいです。そのためには、そのようなk毎にk2^n+1が素数となるようなnを1つでも見つければよいのです。

実はそのようなnが見つかっていないkが今までは

10223, 21181, 22699, 24737, 55459, 67607

の6つ知られていたのですが、今回の巨大素数の発見により、10223はSierpinski数ではないことが確認されたため、上記未解決問題を解くために調べる必要のある数が残り

21181, 22699, 24737, 55459, 67607

の5つに減ったことになります。

今回の巨大素数発見のニュースには実はこんな数学的意味が込められていたのです。果たして、78557はやはり最小のSierpinski数なのか?それとも、上の5つの数の中にSierpinski数が存在するのか?我々が生きている間にその答えを知ることはできるでしょうか??



・次の記事も合わせてお読みください:
integers.hatenablog.com


・今回のニュースは2chで知りました:
http://itest.2ch.net//test/read.cgi/scienceplus/1480898827/-100

というのも、昨日から何故かSierpinskiの記事へのアクセスが増えていて、よく見てみると2chに記事を紹介されており、辿ってみるとこのニュースの記事が書かれていて「Wow!」となったので慌てて私も記事を書いた次第です。日本語版Wikipediaによれば10/31には発見されていたようです。

*1:2^p-1の形をした素数。 integers.hatenablog.com

関-ベルヌーイ数の第二種Stirling数を用いた公式

定理解説

関-Bernoulli数は第二種Stirling数を用いて表すことができます。

関-Bernoulli数については
integers.hatenablog.com

を、第二種Stirling数については

integers.hatenablog.com

を参照してください。関-Bernoulli数は一つ目の記事で紹介したように

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}B_n\frac{t^n}{n!} = \frac{te^t}{e^t-1} -①

を満たすように定義されます。一方、二つ目の記事では第二種Stirling数が

\displaystyle e^{x(e^t-1)}=\sum_{n \geq k \geq 0}\left\{ {n \atop k} \right\} x^k\frac{t^n}{n!} -②

を満たすことを示しました。②においてx^kの係数を比較することによって

\displaystyle \frac{(e^t-1)^k}{k!} = \sum_{n=k}^{\infty}\left\{ {n \atop k} \right\}\frac{t^n}{n!} -③

が成り立つことが分かります。

\displaystyle \frac{te^t}{e^t-1} = \frac{t}{1-e^{-1}} = \frac{-\log (1-(1-e^{-t}) )}{1-e^{-t}}

と変形し、対数関数のTaylor展開*1

\displaystyle -\log (1-x) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{n}

より

\begin{align}\frac{te^t}{e^t-1} &= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1-e^{-t})^{k-1}}{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(e^{-t}-1)^k}{k+1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kk!}{k+1}\frac{(e^{-t}-1)^k}{k!} \\ 
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kk!}{k+1}\sum_{n=k}^{\infty}\left\{ {n \atop k} \right\}\frac{(-t)^n}{n!} \quad (\text{③より})\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left( \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!\left\{ {n \atop k} \right\}}{k+1} \right) \frac{t^n}{n!} \quad (\text{和の順序の入れ替え})\end{align}

と計算できます。よって、①と係数比較をすることにより、

\displaystyle B_n = (-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!\left\{ {n \atop k} \right\}}{k+1}

なる関-Bernoulli数の第二種Stirling数を用いた表示が得られました。なお、

integers.hatenablog.com

\displaystyle \left\{ {n \atop k} \right\} = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}\binom{k}{j}j^n

を証明したので、

\begin{align} B_n &= (-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^k(-1)^j\binom{k}{j}j^n \\ &= (-1)^n\sum_{n \geq k \geq j \geq 0}\frac{(-1)^jj^n}{k+1}\binom{k}{j} \end{align}

なる二項係数を用いた二重和表示も得られます。

*1:記事全体で形式的冪級数として書いていますが、収束冪級数で考えてもよいです。対数関数のTaylor展開は|x| < 1で収束し、関-Bernoulli数の定義級数は|t| < 2\piで収束します。

37でたくさん割れる関-ベルヌーイ数

37 284

最小の非正則素数37について短い記事を書こうと思います。

関-ベルヌーイ数については

integers.hatenablog.com

を参照して下さい。n番目の関-Bernoulli数B_nを既約分数表示した際の分子をN_nで表し、若干の数値例(n=0, 1, 2, 4, 6, \dots, 100)を上記記事に掲載しました。

N_nの素因数分解において、赤い素因数はAdamsの定理から分かる自明な素因数であり、色をつけていない非自明な素因数のことを非正則素数というのでした:

integers.hatenablog.com


さて、N_{100}までの数値例を眺めていると、赤い素因数については5^2\mid N_{50}7^2\mid N_{98}のように、指数が2以上のものが現れます。ところが、非正則素数であるような素因数の部分には指数が2以上のものが見当たりません。


実は、そのようなものが存在しないわけではないのです。今回は最小の非正則素数37について数値例を見てみましょう。


37が最初に現れるのはn=32でした:

N_{32}=-7709321041217=-\mathbf{37}\times 683\times 305065927


素因数として37^2が最初に現れるのは、n=284です:

N_{284} = -\color{red}{71}\times \mathbf{37^2}\times 792213846555737\times C_{331}


ここで、C_{331}331桁の合成数で

\begin{align}C_{331} = \ 
&172669909653678911169284461515820267610053379415405723857213\\
&874971138358705108405914842864443156762068966357218045544359\\
&785944736585252660878300347245173742458017409983038141773428\\
&417586549816689155680015140781813660366448321397144043116307\\
&199565861230409691967362479755655392967940129097243433172264\\
&6485436053654585994380714905727\end{align}

です。誰かC_{331}の素因数分解を教えてください。


理論的な考察や37以外の非正則素数についてはまたの機会ということで、この記事にはa_kk=1, \dots, 50について掲載します*1。ここで、a_kは「N_n37^kで割れるような最小のn」として定義します。


a_{1}=   32
a_{2}=   284
a_{3}=   37580
a_{4}=   1072544
a_{5}=   55777784
a_{6}=  325656968
a_{7}=   42764158652
a_{8}=   2444284077476
a_{9}=   46872402575720
a_{10}=   4093248733492712
a_{11}=   167845040875289732
a_{12}=   4841789050865438960
a_{13}=   235423026877046134208
a_{14}=   7818983737604766777920
a_{15}=   95503904455394036720840
a_{16}=   6908622244227620311285724
a_{17}=  114945213060615779807957456
a_{18}=   5000599931090613659268556892
a_{19}=   5000599931090613659268556892
a_{20}=   613042537111369440657592250336
a_{21}=   293081214320825485226851288796900
a_{22}=   5287537686319635770191082106745916
a_{23}=   251680723638260943161759802458897372
a_{24}=   11647365573915546410021813118745902212
a_{25}=   475451738980201064911225983091626999200
a_{26}=   16076144299009804869042638973088536625160
a_{27}=  651024331492214679697191147665962758401732
a_{28}=   68994538298469903024836085174244424447807300
a_{29}=   1096282982614603280962705086011251926716684744
a_{30}=   88810911689607530166426904388248046351213143424
a_{31}=  1170624665742520295087152029115835177586669467144
a_{32}=   25186890005717183676327249798068269491013799853728
a_{33}=   1209989313444467243817505406399721695620085565591872
a_{34}=   12169411730252905300123403354965015887313999398669704
a_{35}=   2445161188261726153800032747936460326443362870341948408
a_{36}=   9946885832567102003341419893729404200657846889083724412
a_{37}=   2230457380546958353467592015048440790968145116436649421596
a_{38}=   22770179456655077429511910020229521118567402359751632120548
a_{39}=   1922694471496656091963611325499479451421498697366387531773608
a_{40}=   44101013754784678614620618349138827904146573446513704504071540
a_{41}=  5246093725360307456408984817931325137073572459174682797754149820
a_{42}=   370946181351228558735352788048559022671684212225864970053234652904
a_{43}=   6068168599101597104975740459430969468474039442275355760980720385160
a_{44}=   111466783327483415210422912380005562715817611198190935393139206431896
a_{45}=   6936027086990206137538127294237210475481313882393724716575401177958052
a_{46}=   692316869011975073822734724500753646714644725118173760169593996318370576
a_{47}=   36728920083909863643165440019727591531079078821146818782146729603964271180
a_{48}=   1666384198802069935612330001703874593635115154052664432553779417638617776272
a_{49}=   54654872503789517124185468628585381662048166933550191692461715001310836290324
a_{50}= 2015228939788325063101391597823201143193331082774958700309055331597182921310248