31, 331, 3331,...という有名なNear-repdigit素数を題材にした短い記事。

Wilson素数およびWilson商の紹介

定理(の原始乗根の一様分布性) を複素平面上の単位円周とし、弧を一つとって、その長さをとする。また、自然数に対しての原始乗根全体のなす集合をと記す。このとき、が成り立つ。はEulerのトーシェント関数：オイラーのトーシェント関数とφ(R(n))=n - INTEG…

関-Bernoulli数の分母をとすると、 が成り立つのでした(積はがを割り切るような素数全体を渡る)。これは、von-Staudt－Clausenの定理の系で、関-ベルヌーイ数 - INTEGERSで証明しました。任意の偶数はを約数に持ち、はともに素数であることから、全てのはの…

今回は存在するか分かっていないけれど名前の付いている素数～Wall-Sun-Sun素数～を紹介します。 前提知識 主役はFibonacci数です：89：フィボナッチ数 - INTEGERSFibonacci数と対となる概念であるLucas数も使います：199：リュカ数 - INTEGERSなお、今回の…

整数論の幾つかの定理の証明で活躍する指数持ち上げ補題の証明を解説します。

は番目の素数。この記事ではが現れる数列を一つ紹介します。オンライン整数列大辞典に載っている数列です：A180315 - OEIS を関-Bernoulli数とします：関-ベルヌーイ数 - INTEGERSの既約分数としての分子を、分母をとします()。このとき、数列をで定めます。…

今日は2005年の国際数学オリンピックメキシコ大会第３問を紹介します。IMO 2005 Problem3 がを満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。実にたくさんの証明法があるのですが、Cauchy-Schwarzの不等式を使った割とスマートな方法をまず紹介します。Cauch…

は次のような周期として定義されます：数値はまでは誰でも覚えていると思いますが、その続きがなので覚えやすいですね！に関する次の級数はとても有名です： ―①これはTaylor展開の収束半径上の代入であって条件収束ですが、例えば証明はlog2に収束する交代級…

tan1は有理数か？ tan1 は有理数か。ただし、角度は弧度法で表されている。— ( ｡•̀_•́｡) (@donnay1224) 2016年3月17日twitter.com無理数に決まっています。連ツイでも指摘されているように、の無理性を証明すれば十分です。実際、なので、の無理性からの無理…

円周率が超越数であることの証明を解説します。

定数でない有理数係数多項式の根とならないような複素数のことを超越数といいます。私が初めてこの概念を知ったのは中学二年生のときで、学校の図書館で読んだ本に載っていました。その中二病的な響きに憧れを抱いたのを覚えています。Hermiteは1873年にが超…

だって素数の無限性を出せるんだからね！！定理１ をを満たすような複素数とするとき、が成り立つ。Möbius関数についてはメビウス関数 - INTEGERSを参照してください。証明. をとおく。これらはで絶対収束し、解析関数を定める。 と計算できるので、両辺を微…

eの無理性証明を五つ紹介します。

3/11にあしぃさんという方によって発信された次のツイートに1万リツイートを超える反響がありました：電車で数遊びをしている5才くらいの子がいる。男の子「にぃ、さん、ご！」母親「そうね、2たす3は5だね。」男の子「なな、じゅいち、じゅーさん！」母親「…

3/11にarXivに投稿されたプレプリントR. J. L. Oliver, K. Soundararajan, Unexpected biases in the distribution of consecutive primes, preprint.がFields賞受賞者であるTerence Taoのブログで取り上げられたり("very nice"と書いてある！)、natureで記…

は加法的素数です。加法的素数とは各桁の数の総和が素数となるような素数のことをいいます：は素数なので、が加法的素数であることが分かります。定理 加法的素数は無数に存在する。 加法的素数に関する近年の進展 を以上の整数とし、数論的関数をの進法表示…

今日は3月14日。そう、円周率の日です*1。というわけで、今日は整数ではなく、円周率のお話をしましょう。 ラマヌジャン(Ramanujan)のMysteriousな公式 百年に一度の円周率の日から一年 証明の解説 が無理数であることの証明 ラマヌジャン(Ramanujan)のMyste…

今回は二つの数列を紹介します(両数列とも数値例を最後の方に掲載しています)。一つ目は数列。自然数に対しての最小公倍数をと定義します： 二つ目はSylvester数列です。これは、、で定義される数列です。Sylvester数列については思い出深い話があるのですが…

『渋谷のハチ公前』のように待ち合わせの名所が日本各地に存在します。 大阪の阪急梅田駅1階コンコースの東側にある大型ビジョン『ビッグマン（BIGMAN）前』も言わずと知れた待ち合わせの名所です*1。【梅田】ビッグマン前【超定番】 | 大阪待ち合わせ場所.c…

俳句は五・七・五の十七音からなり、短歌は五・七・五・七・七の三十一音からなる。 ここに現れる数が全て素数であるという事実は素数好きの大好きな話題の一つです。 偶然とはいえ、昔の日本人は素数の美しさを感じ取っていたのかもしれません。 三三七拍子…

Diophantusは次のような興味深い３つ組を発見しました：３つ組すなわち、どの２つの数を取っても、その積にを加えれば平方数となる３つ組なのです。このような自然数の３つ組をDiophantusの３つ組と言います。この記事だけの記号として、ではなくと書いたら…

の三つ組はどの二つをとっても掛け合わせて引けば平方数となります*1： これを四つ組には延長できないことを証明させるのが1986年の国際数学オリンピック第一問です。証明. 自然数が存在して、が全て平方数になったと仮定する。法における平方剰余はであるこ…

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: 有名なお話に関する短い記事です。

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: 高野喜久雄の公式などのMachin型の公式の証明法(≠発見法)の解説など。

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: この記事は全四回にわたる『素数定理の初等的証明』の第四回目の記事です。

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: この記事は全四回にわたる『素数定理の初等的証明』の第三回目の記事です。

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: 素数定理の初等的証明に関するSelbergの漸近公式の証明の解説。

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: 素数定理の初等的証明に関する歴史の解説および証明の方針の解説。

せきゅーん（高校時代）「英単語帳何使ってるん？」友達（イケメン）「ターゲット」せきゅーん（高校時代）「ターゲット？たったの1900語やん。俺が使ってる単語帳８万語やで！！」 私が実際に使用していた英単語帳を見ていただこう： そう、ジーニアス英和…