インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

関−Bernoulli数

秋山・谷川アルゴリズム

アルゴリズム まず、正整数の逆数を並べます。 その後、ある計算規則に基づいて一行ずつ下に数列を追加していきます。その計算規則は新しい数列の左から数えて番目の数がで、の上にある数がのとき、と計算されます。この計算規則に基づいて得られる数列の一…

Carlitzの恒等式

は関-Bernoulli数*1とする。このとき、次の恒等式が成り立つ: 証明*2. 次のように母関数を計算する:これはとの入れ替えで不変である。 Q.E.D. *1:この記事では. *2:by Prodinger.

三木の恒等式をリーマンゼータ値の関係式に書き直す

は以上の整数とします。関-Bernoulli数に関するEuler-Ramanujanの恒等式をEulerの公式を使ってRiemannゼータ関数の偶数値の関係式であるWilliamsの公式に書き換えることができました(リーマンゼータ関数 - INTEGERS)。同様にして、三木の恒等式をEulerの公式…

三木の恒等式のジョンソンの手法による証明

関-Bernoulli数に関するJohnsonの手法を解説しました:integers.hatenablog.com上記記事ではJohnsonの基本進関係式Johnsonの基本進関係式 を正整数とし、修正関-Bernoulli数をと定義する。このとき、次の進関係式が成立する。から関-Bernoulli数に関する種々…

関-ベルヌーイ数に関するジョンソンの手法

関-Bernoulli数に関する整数性やを法とした合同式などを統一的に導出するJohnsonの手法を紹介します。関-Bernoulli数についてはintegers.hatenablog.comを参照してください。は素数です。Johnsonの主張は、関-Bernoulli数に関するいくつかの古典的定理達は以…

三木の恒等式のGesselによる証明

三木の恒等式 を以上の整数とする。このとき、次の恒等式が成立する:.ただし、であり、は第調和数である。integers.hatenablog.com 第二種Stirling数の母関数表示 Gesselの証明では第二種Stirling数を用います。第二種Stirling数についてはBell数の母関数表…

三木の恒等式

関–Bernoulli数に関するexotic identity、三木の恒等式を紹介します。 鑑賞 関–Bernoulli数についてはintegers.hatenablog.comを参照してください。この記事で紹介したように、関–Bernoulli数は漸化式を満たします。もう少し、非自明なものとしてはEulerやRa…

すむーずぷりんちゃんさんの問題について

問題 (すむーずぷりんちゃん) を以上の整数とし、とおく。このとき、の多項式として次の整除関係が成り立つことを示せ:偶数,奇数.【証明求む】Σ k^m の計算をしていたら、画像のような法則性を見つけました。数学の腕に自信がある方、証明して(または反例を…

関-ベルヌーイ数の第二種Stirling数を用いた公式

関-Bernoulli数は第二種Stirling数を用いて表すことができます。関-Bernoulli数については関-ベルヌーイ数 - INTEGERSを、第二種Stirling数についてはBell数の母関数表示と第二種Stirling数 - INTEGERSを参照してください。関-Bernoulli数は一つ目の記事で紹…

37でたくさん割れる関-ベルヌーイ数

最小の非正則素数について短い記事を書こうと思います。関-ベルヌーイ数については関-ベルヌーイ数 - INTEGERSを参照して下さい。番目の関-Bernoulli数を既約分数表示した際の分子をで表し、若干の数値例()を上記記事に掲載しました。の素因数分解において、…

リーマンゼータ関数の級数表示による解析接続

リーマンゼータの解析接続には様々な証明が知られています。このブログでも、Riemann自身による二つの証明のうち、テータ関数を使う方を紹介しました: integers.hatenablog.comRiemannのもう一つの証明はコンタワー積分を使うもので、どちらも関数等式も同…

78:関-Bernoulli数の分母にならない6の倍数であるような無平方数のうち最小の数

関-Bernoulli数の分母をとすると、 が成り立つのでした(積はがを割り切るような素数全体を渡る)。これは、von-Staudt-Clausenの定理の系で、関-ベルヌーイ数 - INTEGERSで証明しました。任意の偶数はを約数に持ち、はともに素数であることから、全てのはの…

5407:関-Bernoulli数の分子を分母で割った余り

は番目の素数。この記事ではが現れる数列を一つ紹介します。オンライン整数列大辞典に載っている数列です:A180315 - OEIS を関-Bernoulli数とします:関-ベルヌーイ数 - INTEGERSの既約分数としての分子を、分母をとします()。このとき、数列をで定めます。…

正則素数に関するジーゲル予想と非正則指数

正則素数が素数全体に占める割合が61%であるというジーゲルの予想の発見的導出法。

ジェノッキ素数が17しか存在しないことの証明

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: ジェノッキ数の紹介およびジェノッキ素数がしか存在しないことの証明。数学セミナー2017年7月号へ寄稿した記事。

非正則素数

非正則素数の定義と無限性の証明

リーマンゼータ関数

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: Riemannゼータ関数の絶対収束域、 Euler積表示、Williamsの定理、Eulerの定理(の値)、Riemannゼータを用いた素数の無限性証明三つ

関-ベルヌーイ数

関-Bernoulli数の定義、数値データ、冪乗和の公式、von-Staudt--Clausenの定理、Adamsの定理、Euler-Ramanujanの漸化式について