インテジャーズ

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

素数に関する漸近公式

定理解説

今回は準備の記事です。漸近公式を6つ証明します。漸近公式は全てx \to \inftyで考えます。

準備

integers.hatenablog.com
で証明した

\psi (x) = O(x) ―①

および

integers.hatenablog.com
で証明した補題

\displaystyle \sum_{n =2}^{\infty}\frac{\log n}{n(n-1)} < +\infty ―②

とMertensの第一定理

\displaystyle \sum_p\frac{\log p}{p} = \log x + O(1)

を用います。また、これまでも大活躍してきたAbelの総和法
integers.hatenablog.com
を用います。

素数に関する漸近公式

以下の6つの漸近公式が成り立つ。ただし、p, qは(異なるとは限らない)素数を表す。各公式について、和がどの集合上を走るかを注釈に記す。*1

漸近公式1

\displaystyle \sum_{p^i \leq x, i > 1} (2i-1)\log^2p = O(x)
証明.
\begin{equation}\begin{split}\sum_{p^i \leq x, i > 1}(2i-1)\log^2 p &\leq \sum_{p \leq \sqrt{x}}\log^2p \sum_{i \leq \log_px}(2i-1) \\ &\leq \sum_{p \leq \sqrt{x}}\log^2p\frac{\log^2x}{\log^2p} \\ &= O(\sqrt{x}\log^2x) = O(x)\end{split}\end{equation}
Q.E.D.

漸近公式2

\displaystyle \sum_{\substack{p^iq^j \leq x \\ p \neq q, \ i > 1}}\log p \log q = O(x)
証明.
\begin{equation}\begin{split}\sum_{\substack{p^iq^j \leq x \\ p \neq q, \ i > 1}}\log p \log q &= \sum_{p^i \leq x, \ i > 1}\log p \sum_{q^j \leq \frac{x}{p^i}, \ p \neq q}\log q \\ &= O\left( \sum_{p^i \leq x, \ i > 1}\log p \cdot \frac{x}{p^i} \right) \\ &= O\left( x\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{i=2}^{\infty}\frac{\log n}{n^i} \right) \end{split}\end{equation}
と計算できる(2つ目の等号に①を用いた)が、②によって、これはO(x)である。
Q.E.D.

漸近公式3

\displaystyle \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{\log p}{p\log \frac{x}{p}} = O(\sqrt{\log x})

証明. \xi = \xi (x):=xe^{-\sqrt{\log x}}とする。このとき、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{\log p}{p\log \frac{x}{p}} &\leq \frac{1}{\log \frac{x}{\xi}}\sum_{p \leq \xi}\frac{\log p}{p} + \frac{1}{\log 2}\sum_{\xi < p \leq \frac{x}{2}}\frac{\log p}{p} \\ &\leq \frac{1}{\sqrt{\log x}}\sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p} + \frac{1}{\log 2} \left( \sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p} - \sum_{p \leq \xi}\frac{\log p}{p} \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{\log x}}(\log x+O(1))+\frac{1}{\log 2}(\log x - \log \xi + O(1)) \\ &=O(\sqrt{\log x})\end{split}\end{equation}

となる。ただし、一つ目の等号を導出するところでMertensの第一定理を用いている。 Q.E.D.

漸近公式4

\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{\log^2p}{p} = \frac{1}{2}\log^2x + O(\log x)

証明. nが素数pのときは\displaystyle a_n=\frac{\log p}{p}とし、その他の自然数のときはa_n=0として数列\{ a_n \}を定める。この数列\{ a_n \}\varphi (x) = \log xに対してAbelの総和法を適用する。Mertensの第一定理より

\displaystyle S(x) = \sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p} = \log x+O(1)

なので、

\begin{equation}\begin{split}\sum_{p \leq x}\frac{\log^2p}{p} &= S(x)\log x- \int_1^x\frac{S(t)}{t}dt \\ &= (\log x+O(1))\log x-\int_1^x\frac{\log t}{t}dt + O\left( \int_1^x \frac{dt}{t} \right) \\ &= \frac{1}{2}\log^2 x+ O(\log x)\end{split}\end{equation}

を得る。 Q.E.D.

漸近公式5

\displaystyle \sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{pq} = \frac{1}{2}\log^2x + O(\log x)

証明. Mertensの第一定理と漸近公式4によって次のように計算できる:

\begin{equation}\begin{split}\sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{pq} &= \sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p}\sum_{q \leq \frac{x}{p}}\frac{\log q}{q} \\ &= \sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p}\left( \log \frac{x}{p} + O(1) \right) \\ &= \log x \sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p} - \sum_{p \leq x}\frac{\log^2 p}{p} + O\left( \sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p} \right) \\ &= \log x (\log x+O(1))-\frac{1}{2}\log^2 x+O(\log x) + O(\log x) \\ &= \frac{1}{2}\log^2 x+ O(\log x). \end{split}\end{equation}

漸近公式6

\displaystyle \sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{pq\log pq} = \log x + O(\log \log x)

証明. 2以上の整数nに対して数列\{a_n\}

\displaystyle a_n = \begin{cases}\frac{\log p\log q}{pq} & n=pq \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

と定める。この数列\{a_n\}\displaystyle \varphi (x) = \frac{1}{\log x}に対してAbelの総和法を適用する。漸近公式5より

\displaystyle S(x) = \sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{pq} = \frac{1}{2}\log^2 x+ O(\log x)

なので、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{pq \log pq} &= \frac{S(x)}{\log x} + \int_2^x\frac{S(t)}{t\log^2 t}dt \\ &= \frac{1}{2}\log x +O(1) + \frac{1}{2}\int_2^x\frac{dt}{t} + O\left( \int_2^x \frac{dt}{t\log t} \right) \\ &= \log x +O(\log \log x) \end{split}\end{equation}

が得られる。 Q.E.D.

*1:x \geq 2は実数で、\mathbb{P}は素数全体集合とする。

1. \displaystyle \{(p, i) \in \mathbb{P} \times \mathbb{Z}_{ > 1} \mid p^i \leq x\}
2. \displaystyle \{ (p, q) \in \mathbb{P}^2 \mid p \neq q, {}^{\exists}i, j \in \mathbb{Z} \ \text{s.t.} \ i > 1, p^iq^j \leq x\}
3. \displaystyle \{ p \in \mathbb{P} \mid p \leq \frac{x}{2}\}
4. \displaystyle \{ p \in \mathbb{P} \mid p \leq x\}
5. \displaystyle \{ (p, q) \in \mathbb{P}^2 \mid pq \leq x\}
6. \displaystyle \{ (p, q) \in \mathbb{P}^2 \mid pq \leq x\}