インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

121:スターナンバー(六芒星数)

121は2番目のスターナンバーであるような平方数です(1番目は1)。

スターナンバー

自然数nを用いてS_n:=6n(n-1)+1の形で表すことのできる整数のことをスターナンバー(六芒星数)と言います。スターナンバーはその数だけ与えられた小石○を星型に配置することが出来ます:
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1万以下のスターナンバーは次のようになっています:

S_{1} S_{2} S_{3} S_{4} S_{5} S_{6} S_{7} S_{8} S_{9}
1 \color{red}{13} \color{red}{37} \color{red}{73} 121 \color{red}{181} 253 \color{red}{337} \color{red}{433}
S_{10} S_{11} S_{12} S_{13} S_{14} S_{15} S_{16} S_{17} S_{18}
\color{red}{541} \color{red}{661} 793 \color{red}{937} \color{red}{1093} 1261 1441 1633 1837
S_{19} S_{20} S_{21} S_{22} S_{23} S_{24} S_{25} S_{26} S_{27}
\color{red}{2053} \color{red}{2281} \color{red}{2521} 2773 \color{red}{3037} \color{red}{3313} 3601 3901 4213
S_{28} S_{29} S_{30} S_{31} S_{32} S_{33} S_{34} S_{35} S_{36}
4537 4873 5221 \color{red}{5581} \color{red}{5953} \color{red}{6337} \color{red}{6733} 7141 \color{red}{7561}
S_{37} S_{38} S_{39} S_{40} S_{41}
\color{red}{7993} 8437 \color{red}{8893} 9361 9841

素数であるようなスターナンバーのことをスタープライム(六芒星素数)といいます。上の表において、赤字で記した数がスタープライムです。

スターナンバーの一般項は例えばS_n=6T_{n-1}+H_nという関係式によって求めることができます。ここで、T_nおよびH_nはそれぞれ第n三角数、第nヘックス数です。

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STAR CONGRUENT-PRIME

スターナンバーは、三角数やヘックス数と同じく、所謂「図形数」の一つです。素数を十進法表記したときに、各桁の数を点対称な図形に対する図形数の作る形に点対称に配置できるとき、congruent primeと言います(日本語訳は合同素数??並べ方には順序が決まっていますが、説明するよりも最後の例を見るのがわかりやすいと思います)。このような数は必ず回文素数ですが、回文素数を直線という図形に対するcongruent primeと思うことによって、congruent primeは回文素数の拡張概念と思うことができます(もっと対称性が高い)。
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特に、桁数がスターナンバーであるようなcongruent primeのことをstar congruent primeと言います。

次の数は各桁の数として一桁の素数2, 3, 5, 7が全て現れ、それら以外は現れないようなstar congruent primeのうち最小のものです。桁数は121桁です:

777727722777777232777777222233222277233353332772355553277235253
2772355553277233353332772222332222777777232777777227727777

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