インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

2147483647:二重メルセンヌ素数

2147483647は3番目の二重Mersenne素数です。

M_p=2^p-1でMersenne素数を表します。Mersenne素数については
integers.hatenablog.com
を参照してください。

M_{M_p}が素数になっているとき、この数のことを二重Mersenne素数と言います。二重Mersenne素数は次の4つしか知られていません:

M_{M_2}=7,

M_{M_3}=127,

M_{M_5}=2147483647,

M_{M_7}=170141183460469231731687303715884105727.

5つ目の二重Mersenne素数の候補数はM_{M_{61}}なのですが、この数は69京桁です。先日発表された世界最大の素数が2千万桁ですので、5つ目の二重Mersenne素数を人類が手に入れるのは非常に難しいように思えます。
integers.hatenablog.com

余談ですが、世界最大の素数について「文字通り天文学的数字だね」というコメントを見ました。全く天文学的ではありません笑。

三重Mersenne素数を考えてみると、

M_{M_{M_2}}=M_7およびM_{M_{M_3}}=M_{127}の2つのみ発見できます。

なお、二重Mersenne素数はサブライム数と関係します:
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