インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

素数サンドウィッチ完全数

両隣が共に素数であるような完全数のことを素数サンドウィッチ完全数(PSP)といいいます(私が勝手に名付けたので注意)。

定理 PSPは 6 しか存在しない。

6のみがPSPであるという事実は美しいですが、証明は拍子抜けするほど簡単です*1。ここでは、少しだけ強く、6, 28以外の偶数の完全数は9で割った余りが1であることまで示します。

証明.奇数の完全数がもし存在しても、両隣は偶数だから考察から除外できる。6がPSPであることは明らか。N6より大きい偶数の完全数とする。このとき、完全数 - INTEGERSで証明したように、

N=2^{p-1}(2^p-1) s.t. p2^p-1はともに素数

とできる。仮定より、pは奇素数である。Eulerのトーシェント関数を\varphi (n)とすると、\varphi (9)=6なので、Eulerの定理より2^6 \equiv 1 \pmod{9}.-①

p=3のとき: N=28はPSPではない。

p\equiv 1 \pmod{6}のとき: ①より2^{p-1} \equiv 1 \pmod{9}および2^p-1 \equiv 2-1 =1 \pmod{9}が成り立つ。よって、

N=2^{p-1}(2^p-1) \equiv 1 \pmod{9}

となって、NはPSPではない。

p\equiv 5 \pmod{6}のとき: 同様に、①より2^{p-1} \equiv 2^4 \equiv 7 \pmod{9}および2^p-1 \equiv 2^5-1 \equiv 4 \pmod{9}なので、

N=2^{p-1}(2^p-1) \equiv 7\times 4 \equiv 1 \pmod{9}

となって、やはりNはPSPではない。 Q.E.D.

*1:2^p-1pが奇数の時は3で割れないため、偶数の完全数N=2^{p-1}(2^p-1)pが奇素数の時は6の倍数でない。一方、双子素数の間の整数は6の倍数。