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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

メルテンスの第一定理

2015の階乗を10の502乗で割った数の一の位は? - INTEGERS

定理 \ \ \ \displaystyle \sum_p\frac{\log p}{p} = \infty.

の証明を取り上げました。

今回は、この定理の精密版であるMertensの第一定理の証明を紹介します。

Mertensの第一定理

Mertensの第一定理 \ \ \ \displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p} = \log x +O(1).

例によって例のごとく、Landauの記号はx \to \inftyのみ扱います。Mertensの第二定理、第三定理についてはそれぞれ別の記事を書く予定です。

簡単な補題

補題1 \ \ \ \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\log n}{n(n-1)} は収束する。

証明. 十分大きいnに対して \log n \leq n^{\frac{1}{2}}が成り立つので、

\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\log n}{n(n-1)} \leq 2\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\log n}{n^2} \leq \text{定数} + 2\zeta (3/2)

となって収束することがわかる。 Q.E.D.

von-Mangoldt関数

定義 von-Mangoldt関数\Lambda (n)
 \displaystyle \Lambda (n) := \begin{cases} \log p & (n=p^i, \ i\geq 1) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}
で定義する。

補題2  \ \ \ \displaystyle \log n = \sum_{d \mid n}\Lambda (d).

証明. これは、次のように計算できる:

\displaystyle \sum_{d \mid n}\Lambda (d) = \sum_{p^i \mid n, i \geq 1}\Lambda (p^i) = \sum_{p \mid n}(\mathrm{ord}_pn)\log p = \log \prod_{p \mid n}p^{\mathrm{ord}_pn} = \log n.

Q.E.D.

証明

補題2より、

\displaystyle \sum_{n \leq x}\log n = \sum_{n \leq x}\sum_{d \mid n}\Lambda (d) = \sum_{d \leq x}\Lambda (d)\left[ \frac{x}{d} \right] = x\sum_{d \leq x}\frac{\Lambda (d)}{d} - \sum_{d \leq x}\Lambda (d) \left\{ \frac{x}{d} \right\}

と変形できる。ここで、\{ x \} := x - [ x ] である。チェビシェフの定理 - INTEGERSで取り扱った関数\displaystyle \psi (x)= \sum_{p^i \leq x}\log pを思い出すと、\displaystyle \psi (x) = \sum_{n \leq x}\Lambda (n)と書けることがわかる。よって、Chebyshevの定理によって、

\displaystyle \left| -\sum_{d \leq x}\Lambda (d) \left\{ \frac{x}{d} \right\} \right| \leq \psi (x) = O(x)

を得る。Abelの総和法の記事で証明した漸近公式1を用いることによって

\displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{\Lambda (n)}{n} = \log x + O(1)

が証明された。一方、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{n\leq x}\frac{\Lambda (n)}{n} &= \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{p^i \leq x}\frac{\log p}{p^i} < \sum_{p \leq x} \frac{\log p}{p} + \sum_p\left( \sum_{i \geq 2}\frac{1}{p^i}\right) \log p  \\ &= \sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p} + \sum_p\frac{\log p}{p(p-1)}\end{split}\end{equation}

であり、最後の式の第二項の和は補題1によって収束するので、Mertensの第一定理が証明された。 Q.E.D.