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数、特に整数に関する記事。

sin(π/2+θ)=cosθ等の三角関数の公式の覚え方

今回は高校数学について記事を書いてみます。

僕が高校生時代に用いていた、

\displaystyle \sin (\frac{\pi}{2}+\theta) = \cos \theta, \ \cos (\frac{3}{2}\pi-\theta)=-\sin \theta, \ \tan (\pi-\theta) = -\tan \theta

などの公式の覚え方を伝授します*1

Step1

\begin{equation}\begin{split} \sin (-\theta) &= -\sin \theta \\ \cos (-\theta) &= \cos \theta \\ \tan (-\theta ) &= -\tan \theta\end{split}\end{equation}

は単純に記憶してください。\cosのみ符号が変わりません。

Step2

\sin, \cosの場合は

f:id:integers:20160227205710p:plain
\tanの場合は
f:id:integers:20160227210150p:plain
という図を思い浮かべます。図に書いてある\sin-\cosなどをラベルと呼ぶことにします*2

Step3

あとはスタート地点となるラベルから時計回り*3に回ってラベルを読むだけ!!

\sin (\Box +\theta)の場合

\sinのラベルから\Boxだけ時計回りに回転したところに書いてあるラベルを読んで、
「ラベル(\theta)」が答。

\cos (\Box +\theta)の場合

\cosのラベルから\Boxだけ時計回りに回転したところに書いてあるラベルを読んで、
「ラベル(\theta)」が答。

\tan (\Box +\theta)の場合

\tanのラベルから\Boxだけ時計回りに回転したところに書いてあるラベルを読んで、
「ラベル(\theta)」が答。

-\thetaの場合

Step1と組み合わせるだけの簡単なお仕事。例えば、\sin  (\Box - \theta)の場合は\sinのラベルから\Boxだけ時計回りに回転したところに書いてあるラベルを読んで、「ラベル(-\theta)」として、Step1から答が分かります!

例で理解しましょう^^

\sin (\frac{\pi}{2}+\theta)

f:id:integers:20160227212938p:plain
\sinからスタートして\displaystyle \frac{\pi}{2}だけ時計回りに回転するとラベルが\cosなので、

\sin (\frac{\pi}{2}+\theta) = \cos \theta.

\cos (\frac{\pi}{2}+\theta)

f:id:integers:20160227220421p:plain
\cosからスタートして\displaystyle \frac{\pi}{2}だけ時計回りに回転するとラベルが-\sinなので、

\cos (\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin \theta.

\cos (\frac{3}{2}\pi-\theta)

f:id:integers:20160227214051p:plain
\cosからスタートして\displaystyle \frac{3}{2}\piだけ時計回りに回転するとラベルが\sinなので、

\cos (\frac{3}{2}\pi-\theta)=\sin (-\theta)=-\sin \theta.

\tan (\pi-\theta)

f:id:integers:20160227215540p:plain
\tanからスタートして\piだけ時計回りに回転するとラベルが\tanなので、

\tan (\pi-\theta) = \tan(-\theta) = -\tan \theta.

\tan (\frac{\pi}{2}-\theta)

f:id:integers:20160227215344p:plain
\tanからスタートして\displaystyle \frac{\pi}{2}だけ時計回りに回転するとラベルが\displaystyle -\frac{1}{\tan}なので,


\displaystyle \tan (\frac{\pi}{2}-\theta)=-\frac{1}{\tan (-\theta)} = \frac{1}{\tan \theta}.

*1:勿論、公式を導出できることが重要ですし、よく出来る人は瞬時に証明できると思います。が、この覚え方が役に立つ人もいるのではないかと淡い期待を抱いて高校生のために執筆しました。

*2:注)図は正確に覚える必要があります。\sin, \cosの場合は「\cosx座標、\siny座標」であることからラベルの位置を簡単に覚えられると思います。また、xy座標における正の方向が\cos, \sin、負の方向が-\cos, -\sinとしてラベルの符号も覚えることができます。 一方、\tanは図のように斜めに書いて「傾きを表す」と考えて覚えます。つまり、一つの直線で傾きは一定であることから、\sin, \cosの図と違ってラベルの反対側の符号は変わりません。また、「直行する二直線の傾きの積は-1」から、\tanのラベルのある斜め線と直角に交わる斜め線には\displaystyle -\frac{1}{\tan}というラベルを記入すると覚えます。

*3:反時計回りではなく時計回りであることの覚え方。例えば、\Box + \theta\Boxを無くして\thetaにしたいと考えれば、-\Box分だけ回転すれば良いので、時計回りと考えられます。