非Wieferich素数の無限性とABC予想

Wieferich素数は $1093$ と $3511$ の二つしか発見されていません：
integers.hatenablog.com

ということは、知られている素数のうち殆ど全ては非Wieferich素数であるということになります。にもかかわらず、「非Wieferich素数が無数に存在する」ことを数学的に証明しようとすると大変に難しいのです。素数というのは本当に難しい対象です。非Wieferich素数の無限性については次が知られています。

定理 (Silverman) ABC予想が正しいと仮定する。このとき、非Wieferich素数は無数に存在する。

ABC予想については
integers.hatenablog.com
を参照してください。

ABC予想という大変に難しく、大変に深い事実を用いることによって初めて「絶対に無数に存在するに違いないもの」の無限性を証明できるのです。Wieferch素数が無数に存在するか有限個しか存在しないかについては何一つ分かっていません。

実際にはSilvermanは次の定理を証明しました：

定理 $\alpha \in \mathbb{Q}^{\times}\setminus \{\pm 1\}$ とする。ABC予想が成立するならば、 $\alpha$ のみに依存する正の定数 $x_{\alpha}, C_{\alpha}$ が存在して、 $x > x_{\alpha}$ ならば

$\#\{ p\leq x \mid \alpha^{p-1}\not \equiv 1 \pmod{p^2}\} > C_{\alpha}\log x$

が成り立つ(合同式は有限個の例外素数を除いて考えられることに注意)。ここで、 $p$ は素数。

この定理の証明の解説を行うことが今回の記事の目的です。

記号

$\alpha \in \mathbb{Q}^{\times}\setminus \{\pm 1\}$ を固定し、 $\alpha = a/b$ ( $a, b$ は互いに素な整数)と既約分数表示する。

$\Phi_n(x, y)$ を $n$ 次斉次円分多項式とする。円分多項式については105：円分多項式の係数と鈴木の定理 - INTEGERSを参照のこと。

$\displaystyle \Phi_n (x, y) = y^{\varphi (n)}\Phi_n \left( \frac{x}{y}\right),$

$\displaystyle x^n-y^n = \prod_{d \mid n}\Phi_n(x, y)\tag{1}$

なる関係が成り立つ。 $\varphi (n)$ はEulerのトーシェント関数。

また、

$\displaystyle W_{\alpha}(x) := \{ p\leq x \mid \alpha^{p-1}\not \equiv 1 \pmod{p^2}\}$

$\displaystyle m_p := \min \{m \in \mathbb{N} \mid \alpha^m \equiv 1 \pmod{p}\}$

とする( $m_p$ は $\alpha$ の $\mathbb{F}_p^{\times}$ における位数*1 )。

$\displaystyle a^n-b^n = u_nv_n, \quad \Phi_n(a, b)=U_nV_n$

と分解する。ここで、 $v_n, V_n$ はそれぞれ $a^n-b^n, \Phi(a, b)$ のパワフルパートである。よって、特に $u_n, U_n$ は無平方数である。パワフルパートの定義についてはパワフル数 - INTEGERSを参照のこと。

$\displaystyle W_{\alpha}(x) = W_{\alpha^{-1}}(x), \ W_{\alpha}(x) \cup \{2\} = W_{-\alpha}(x) \cup \{2\}$

が成り立つので、 $a > b > 0$ と仮定してよい。

準備

補題１ 素数 $p$ が $p \nmid abn, \ p \mid U_n$ を満たすならば

$\displaystyle m_p=n, \ \alpha^{p-1} \not \equiv 1 \pmod{p^2}$

が成り立つ。

証明. $p \nmid b$ , $p \mid U_n \mid a^n-b^n$ より、 $\alpha^n \equiv 1 \pmod{p}$ が成り立つことがわかる*2。また、 $p \nmid n$ より多項式 $x^n-y^n \bmod{p}$ は分離多項式なので、任意の $n$ の真の約数 $d$ に対して、

$\Phi_d (a, b) \not \equiv 0 \pmod{p}$

であることが $(1)$ よりわかる。これは $m_p=n$ を示している。

次に、 $p \mid U_n$ より $\mathrm{ord}_p(\Phi_n(a, b) )=1$ なので、 $\alpha^n \not \equiv 1 \pmod{p^2}$ である。よって、ある $p$ 進単数 $u \in \mathbb{Q}$ が存在して、 $\alpha^n = 1+up$ と書ける。 $m_p=n$ より $\frac{p-1}{n} \in \mathbb{Z}$ なので(Fermatの小定理)、

$\displaystyle \alpha^{p-1} = (1+up)^{\frac{p-1}{n}} \equiv 1+up\cdot \frac{p-1}{n} \not \equiv 1 \pmod{p^2}$

を得る。以上で証明が完了する。 Q.E.D.

補題２ $\ \ \ \#W_{\alpha}(x) \geq \#\{n \leq \log_ax \mid \left|U_n\right| > abn\}.$

証明. $n$ が $\left|U_n\right| > abn$ を満たすと仮定する。このとき、 $U_n$ が無平方であることから、 $p_n \nmid abn$ を満たすような素数 $p_n \mid U_n$ を選ぶことが出来る。補題１より

$m_{p_n}=n, \ \alpha^{p_n-1} \not \equiv 1 \pmod{p_n^2}$

が成り立つ。 $n \leq \log_ax$ ならば、 $p_n \leq \left|U_n\right| < a^n \leq x$ より $p_n \in W_{\alpha}(x)$ 。よって、

$W_{\alpha}(x) \supset \{ p_n \mid n \leq \log_ax, \ \left|U_n\right| > abn\}$

が成り立つ。 $p_n=p_{n'}$ ならば $n=m_{p_n}=m_{p_{n'}}=n'$ なので、所望の結果を得る。 Q.E.D.

補題３ 正の定数 $C$ が存在して、

$\left|\Phi_n(a, b)\right| \geq e^{C\varphi (n)}$

が任意の整数 $a > b\geq 1$ に対して成り立つ。

証明. $\displaystyle \Phi_n(a, b)=\prod_{\zeta}(a-b\zeta)$ と分解する。ここで、 $\zeta$ は $1$ の原始 $n$ 乗根全体をわたる。まず、 $a-b \geq 2$ のときを考える。このとき、

$\left|a-b\zeta\right| \geq a-b \geq 2$

であるから、

$\left|\Phi_n(a, b)\right| \geq 2^{\varphi (n)}$

が成り立つ。次に $a-b=1$ のときを考える。全ての $\zeta$ に対して、 $\left|a-b\zeta\right| \geq a-b =1$ であり、 $\mathrm{Re}(\zeta) < 0$ であるならば

$\begin{equation}\begin{split} \left|a-b\zeta\right| &= \sqrt{(a-b\mathrm{Re}(\zeta))^2+(-b\mathrm{Im}(\zeta)^2)} \\ &= \sqrt{a^2+b^2-2ab \mathrm{Re}(\zeta)} \\ &\geq \sqrt{a^2+b^2} \geq \sqrt{5}\end{split}\end{equation}$

が成り立つ。ここで、 $n$ が十分大きいときは $\zeta$ は単位円周上に一様に分布することを1の原始n乗根の一様分布性 - INTEGERSで証明したので、約半数の $\zeta$ に対して $\mathrm{Re}(\zeta) < 0$ が成り立つ。つまり、 $\varepsilon > 0$ を一つ固定するとき、十分大きい $n$ に対して

$\left|\Phi_n(a, b)\right| \geq \sqrt{5}^{(\frac{1}{2}-\varepsilon )\varphi (n)}$

が成り立つ。以上を合わせることにより所望の結果が得られる。 Q.E.D.

補題４ ABC予想が成立すると仮定する。このとき、 $\alpha$ と $\varepsilon$ にのみ依存する正の定数 $C_{\alpha, \varepsilon}$ が存在して、

$V_n < C_{\alpha, \varepsilon}a^{\varepsilon n}$

が成り立つ。

証明. $V_n \mid v_n$ より、 $v_n$ について示せばよい。 $a^n-b^n-u_nv_n=0$ であり、対称ABCトリプル $(a^n, -b^n, -u_nv_n)$ に対してABC予想を適用すると、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\varepsilon$ のみに依存する正の定数 $C_{\varepsilon}$ および、 $\alpha$ と $\varepsilon$ のみに依存する正の定数 $C_{\alpha, \varepsilon}$ が存在して

$\begin{equation}\begin{split} a^n&= \max \{a^n, b^n, u_nv_n\} \\ &< C_{\varepsilon}\mathrm{rad}(abu_nv_n)^{1+\varepsilon} \\ &< C_{\alpha, \varepsilon}(u_n\sqrt{v_n})^{1+\varepsilon} \\ &< C_{\alpha, \varepsilon}(a^n/\sqrt{v_n})^{1+\varepsilon}\end{split}\end{equation}$

となる(最後の部分で $u_n < a^n/v_n$ を用いた)。よって、

$\displaystyle v_n < C_{\alpha, \varepsilon}a^{\frac{2n\varepsilon}{1+\varepsilon}}$

が成り立つ。あとは $\varepsilon$ を $\frac{\varepsilon}{2-\varepsilon}$ に置き換えればよい。 Q.E.D.

定理の証明

補題３，４より

$\displaystyle \left|U_n\right| = \frac{\left|\Phi_n(a, b)\right|}{V_n} \geq \frac{e^{C\varphi (n)}}{C_{\alpha, \varepsilon}a^{\varepsilon n}}$

なので、 $\alpha, \varepsilon$ のみに依存する正の定数 $C'_{\alpha, \varepsilon}$ が存在して、

$\displaystyle C\varphi (n)-\varepsilon n\log a-C'_{\alpha, \varepsilon} \geq \log n\tag{2}$

が成り立つならば $\left|U_n\right| > abn$ が言える。従って、補題２より

$\displaystyle \#W_{\alpha}(x) \geq \#\{ n \leq \log_a x \mid n\text{は}(2)\text{を満たす}\}$

が成り立つ。任意に $\delta > 0$ をとって固定し、 $\varepsilon := \delta C/2\log a$ とする。 $\varphi (n) \geq \delta n$ と仮定すると、

$\displaystyle C\varphi (n) -\varepsilon n\log a-C'_{\alpha, \varepsilon}-\log n \geq (C\delta -\varepsilon \log a)n-C'_{\alpha, \varepsilon}-\log n$

なので、 $\delta$ および $\alpha$ のみに依存する自然数 $n_0$ が存在して、 $n \geq n_0$ で右辺は正となる。すなわち、 $n \geq n_0$ で②が成立する。従って、トーシェント関数に関する漸近評価 - INTEGERSで証明した結果を用いることによって

$\displaystyle \#W_{\alpha}(x) \geq \#\{ n_0 \leq n \leq \log_a x \mid \varphi (n) \geq \delta n\}\geq \left( \frac{6}{\pi^2}-\delta \right) \log_a x + O(\log \log_a x) -n_0$

となり、 $\delta$ は任意であったから証明が完了する。 Q.E.D.

*1: $b$ の素因数を除く $p$ に対しては $\alpha \in \mathbb{Z}_{(p)}$ が成り立つので、 $\mathbb{Z}_{(p)}/p\mathbb{Z}_{(p)} \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ なる同型を通して $\alpha$ を $\mathbb{F}_p$ の元とみなせる。更に $a$ の素因数を除外すれば $\mathbb{F}_p^{\times}$ の元となる。

*2:ちなみに $p \nmid a$ という条件は $p \mid U_n$ であるための必要条件である。