インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

非正則指数の世界記録

7は知られている非正則素数に対する非正則指数の最大値です。

非正則指数の定義と与えられた非正則指数を持つような素数の濃度に関する予想を
integers.hatenablog.com
で紹介しました。

そこでは、4千万以下の素数に対する正則素数の濃度を紹介しましたが、BuhlerとHarveyが2011年に163577856以下の素数に対するデータを発表しています:

k N_k N_k/N P_k
0 5559267 0.6067 0.6065
1 2779293 0.3033 0.3032
2 694218 0.0758 0.0758
3 115060 0.01256 0.01263
4 14425 0.00157 0.00158
5 1451 0.000158 0.000158
6 112 0.000012 0.000013
7 5 0.00000055 0.00000094

ここで、N=\pi (163577856)であり、\pi_{\text{irr}, k}(x):= \{ p \leq x \mid i(p)=k \}とするとき、N_k:=\#\pi_{\text{irr}, k}(163577856)\displaystyle P_k=\frac{e^{-\frac{1}{2}}}{2^kk!}は非正則指数がkであるような素数の割合の予想値です。

非正則素数3238481, 5216111, 5620861, 9208289, 32012327の5つが非正則指数7だそうです。

このように、高い非正則指数をもつ素数は非常に稀なわけですが、予想は「任意の非負整数kに対して、非正則指数がkになるような素数が無数に存在する」と言っています。やはり、整数というのは奥が深いですね。

追記)更新されたようです:
integers.hatenablog.com