ヘックス数の天才的求め方

$91$ は合成数であるような最小のヘックス数です。

ヘックス数

一辺が $n$ 個の点からなるような正六角形状に点を配置したときの個数を第 $n$ ヘックス数と言い、 $H_n$ で表します(中心付き六角数とも言います)。

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これを六角数と呼びたくなりますが、六角数という名称を持つ数はヘックス数よりも小さい数として昔から別の定義があるため使うことが出来ません。ヘックス(hex)は六角形の英語hexagonの省略形ですが、六角形の升目のことをヘックスと呼びます。また、ヘックスという名のボードゲームがあって例えば次のサイトで遊ぶことが出来ます*1: http://www.afsgames.com/hex.htm

ヘックスについては：
HEXの定理(1) - フィボナッチ・フリーク
 HEXの定理(2) - フィボナッチ・フリーク

実はこのヘックスというゲームを用いたJordanの曲線定理の証明があって面白いのですが、それはまた別の機会に紹介したいと思います。

一万以下のヘックス数は次のようになっています:

$H_1$	$H_2$	$H_3$	$H_4$	$H_5$	$H_6$	$H_7$	$H_8$	$H_9$	$H_{10}$
$1$	$\color{red}{7}$	$\color{red}{19}$	$\color{red}{37}$	$\color{red}{61}$	$91$	$\color{red}{127}$	$169$	$217$	$\color{red}{271}$
$H_{11}$	$H_{12}$	$H_{13}$	$H_{14}$	$H_{15}$	$H_{16}$	$H_{17}$	$H_{18}$	$H_{19}$	$H_{20}$
$\color{red}{331}$	$\color{red}{397}$	$469$	$\color{red}{547}$	$\color{red}{631}$	$721$	$817$	$\color{red}{919}$	$1027$	$1141$
$H_{21}$	$H_{22}$	$H_{23}$	$H_{24}$	$H_{25}$	$H_{26}$	$H_{27}$	$H_{28}$	$H_{29}$	$H_{30}$
$1261$	$1387$	$1519$	$\color{red}{1657}$	$\color{red}{1801}$	$\color{red}{1951}$	$2107$	$\color{red}{2269}$	$\color{red}{2437}$	$2611$
$H_{31}$	$H_{32}$	$H_{33}$	$H_{34}$	$H_{35}$	$H_{36}$	$H_{37}$	$H_{38}$	$H_{39}$	$H_{40}$
$\color{red}{2791}$	$2977$	$\color{red}{3169}$	$3367$	$\color{red}{3571}$	$3781$	$3997$	$\color{red}{4219}$	$\color{red}{4447}$	$4681$
$H_{41}$	$H_{42}$	$H_{43}$	$H_{44}$	$H_{45}$	$H_{46}$	$H_{47}$	$H_{48}$	$H_{49}$	$H_{50}$
$4921$	$\color{red}{5167}$	$\color{red}{5419}$	$5677$	$5941$	$\color{red}{6211}$	$6487$	$6769$	$\color{red}{7057}$	$\color{red}{7351}$
$H_{51}$	$H_{52}$	$H_{53}$	$H_{54}$	$H_{55}$	$H_{56}$	$H_{57}$	$H_{58}$
$7651$	$7957$	$\color{red}{8269}$	$8587$	$8911$	$\color{red}{9241}$	$9577$	$9919$