この記事は非公開化されました。
非公開前の内容要約: アペリーの定理の証明におけるkeyステップを別記事解説。
この記事の内容は部分的に書籍『せいすうたん1』の第5話に収録されています。
integers.hatenablog.com
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ほとんど整数について、もっちょさんが記事を書かれています:
motcho.hateblo.jp
ほとんど整数は楽しい話題ですが、私なんかは昔から
が好きです。
もっちょさんが扱ったほとんど整数はです(は黄金比)。
が整数であり、から
なので、はが大きくなればなるほど"ほとんど整数"であるという仕組みでした(彼の記事におけるであることに注意)。
彼の記事では対称式論の基本定理から(も)が整数であることを導いていますが、別証明があります。
それは、「をリュカ数とするとき、定義からそれは整数であるが、一般項が
で与えられる」とするものです。詳しくは
integers.hatenablog.com
を参照してください。
もっちょさんの記事を読んで、「ほとんど整数であるに一番近い整数の列はどんな数列なのか知りたい!」と思ったのですが、それは のことであり、すなわち、リュカ数そのものでした*1。
リュカ数の記事では扱っていなかったため、ついでにこの記事で幾つかのリュカ素数
(リュカ数かつ素数)を紹介しておきましょう。
これより大きいリュカ素数や素数かどうか確定していない候補数も見つかっています。
上の数値例を見ていると、次が自然に予想されるでしょう:
これは次の命題から従います:
証明. リュカ数の一般項の式から
が成り立つことがわかる。従って、
からを固定したに関する数学的帰納法で主張を証明することができる。 Q.E.D.
*1:タイトルの"整数部分"は通常の「その数以下の最大の整数」という意味ではなく、「その数に最も近い整数」の意味で用いています。
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非公開前の内容要約: 数列の漸近挙動に関するポアンカレの定理の紹介。
この記事の内容は部分的に書籍『せいすうたん1』の第5話に収録されています。
integers.hatenablog.com