今、目の前に高木貞治博士の論文集があります。高木貞治博士が28歳ぐらいのときに出版された論文
T. Takagi, A simple example of a continuous function without derivative, Proc. Phys. Math. Japan, (1903) Vol. 1, pp. 176-177.
は一ページ半に満たないものですが(Proceeding)、最初にそのような当時の感覚では病的な関数を発見したWeierstrassの例(1872年)に比べて、至る所微分不可能な連続関数の簡単な例を与えた有名な論文です。この高木関数とか高木曲線として有名な関数を、できるだけ博士が論文中で使用している記号のまま紹介したいと思います。
Dirichlet関数(高数美物語、アジマティクス、インテジャーズ)は至る所不連続な関数で有名な関数であり、それは当然至る所微分不可能ですが、Weierstrassの例や高木博士の例はある意味一段階レベルアップした病的な関数です。超有名ではありますが、Dirichlet関数のように大学の授業で必ず習うというわけではないです。あと、フラクタルになっています。
関数等式
定理 高木関数は次のような関数等式を満たす:
また、高木関数はこれらの関数等式を満たすような
上定義された連続関数として特徴づけられる。
証明. 任意の非負整数に対してであることから最初の関数等式がわかる。二つ目の関数等式は、であることに注意すれば、
と示される。これらの関数等式から、区間に含まれる全ての進有理数の値を決めることができるので、に含まれる進有理数全体はで稠密であることと連続性からは一意に決定されることがわかる。 Q.E.D.
リーマン予想
次のような定理があることを知りました。証明はフォローしていないので紹介に留めます。
Kanemitsu-Yoshimoto (2000) を正の整数として、
を既約分数表示した際の分母が
以下であるような
区間内の有理数全体集合とする。このとき、Riemann予想は次の高木関数を用いて表される漸近公式が任意の正の実数
に対して成立することと同値である: