2018-05-31

高木貞治の論文"Zur Theorie der natürlichen Zahlen"を読む

定理解説

高木貞治博士の論文を読むシリーズ第二弾です。第一弾は

integers.hatenablog.com

でした。今回は高木博士が50代後半の時に出版された論文

Teiji Takagi, Zur Theorie der natürlichen Zahlen, Proceedings of the Imperial Academy of Japan, Vol. 7, (1931), 29-30.

を読みます。

極めて短い論文ですが、要約すると「自然数について、加法の存在性定理を導いてしまえば帰納法なしに結合法則および交換法則を証明できる」という内容だと思いました。もちろん、存在性定理の証明には帰納法の公理を使いますが。

ちなみに、最近は自然数に $0$ を含めるのが主流だと思われますが、Peanoや高木博士は $1$ から始めています。

本論

Peanoの公理を思い出す:

$1$ は自然数である。
自然数 $x$ に対して、次の自然数 $x'$ が唯一つ存在する。
各自然数 $x$ に対して、 $1\neq x'$ である。
$x'=y'$ であれば $x=y$ である。
自然数の集合が $1$ を含み、自然数 $x$ を含むときは $x'$ を含むのであれば、その集合は自然数全体の集合である。

$F(x)=x'$ という関数( $\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ )は $F(x')=F(x)'$ なる関数等式を満たしているが、逆にこの関数等式を満たすような関数 $F(x)$ を全て決定したい。

$F(1)=1$ を仮定した場合は、 $F(x)=x$ である。理由: $F(x)=x$ が所望の関数等式および $F(1)=1$ を満たすことは明らか。逆に、関数等式および $F(1)=1$ を満たす関数 $F$ があったと仮定する。(一つの)自然数 $x$ に対して、 $F(x)=x$ が成り立つと仮定する。このとき、 $F(x')=F(x)'=x'$ が成り立つので、公理5. より全ての自然数 $x$ に対して $F(x)=x$ が成り立つ。

このケースを除くために、自然数 $a$ に対して $F(1)=a'$ であるとする(公理3.)。これを今後 $F_a(x)$ と表す。すなわち、

$F_a(1)=a',\quad F_a(x')=(F_a(x) )'. \tag{1}$

定理 (1)を満たすような関数 $F_a(x)$ が唯一つ存在する。

証明. 一意性は公理5. より明らか。存在性を $a$ に関する帰納法で証明する。 $a=1$ のとき、 $F_1(x):=x'$ が(1)を満たす。実際、

$F_1(1)=1',\quad F_1(x')=(x')'=(F_1(x) )'$

である。次に、 $F_a(x)$ が存在すると仮定する。 $p=a'$ とするとき、 $F_p(x):=F_a(x')$ が(1)を満たす。実際、

$\begin{align}F_p(1)&=F_a(1')=(F_a(1) )'=(a')'=p',\\ F_p(x') &= F_a((x')')=(F_a(x') )'=(F_p(x) )'\end{align}$

である。 Q.E.D.

証明から次がわかる。

系 $F_a(x)$ は

$F_1(x)=x',\quad F_{a'}(x)=F_a(x') \tag{2}$

を満たす。

さて、 $\varphi(x):=F_b(F_a(x) )$ とおこう。(1)より

$\begin{align}\varphi(1)&=F_b(F_a(1) )=F_b(a')=(F_b(a) )', \\ \varphi(x') &= F_b(F_a(x') )=F_b( (F_a(x) )')=(F_b(F_a(x) ) )'=(\varphi(x) )'\end{align}$

が成り立ち、定理より $\varphi(x)=F_{F_b(a)}(x)$ が成り立つ。

次に、 $\varphi(x):=F_x(y)$ とすると、(2)より

$\begin{align}\varphi(1)&=F_1(y)=y', \\ \varphi(x') &= F_{x'}(y)=F_x(y')=(F_x(y) )'=(\varphi(x) )'\end{align}$

なので、定理より $\varphi(x)=F_y(x)$ を示している。

$F_a(x)=x+a$ と書けば、これらは

$(x+a)+b=x+(a+b)$

$y+x=x+y$

を意味している。

2018-05-30

抽象的素数大富豪

素数大富豪

素数大富豪については

integers.hatenablog.com

をご覧ください。

最初に出た素数大富豪の公式ルールは2014年9月19日公開の

https://t.co/K5Tf8SeNHW

でした。しかし、twitterか何かで「素数大富豪のルールガバガバだな」というような文を見かけたので、ルールをできるだけ厳密にしようと試みたのが、 2017年2月10日公開の

https://dl.dropboxusercontent.com/s/n5pj0540muso2fn/prime_daifugo_rule.pdf?dl=0

でした。それでも、厳密性が欠けている部分は多数あり、もう一度修正したいと考えていました。それで、ちょっと修正する気になったのですが、考え出すと

「トランプとは何か」

から気になります。

「手札とは何か」

「各プレイヤー手持ちのカード」

「手持ち」とは何か

「手に持っている」

「手とは何か、持つとは？」

という感じになってきて、現実世界における素数大富豪の完全なる厳密化は不可能だということに気づきました。

そこで、現実世界における素数大富豪は曖昧さを含んだものであって、一方で数学世界には厳密に定義された「抽象的素数大富豪」が存在し、我々は現実世界で抽象的素数大富豪の実現を試みているのだという考えに至りました。

そうして、書かれた「抽象的素数大富豪の定義」が次です。

https://dl.dropboxusercontent.com/s/ezd2tk2lniakco7/APDD.pdf?dl=0

これでだいぶ明瞭になったのではないでしょうか。

調べてみると、将棋の数学化を試みているwebサイトがあったのでリンクを貼っておきます。

将棋の数学的考察 (Komakuro氏)

2018-05-14

アックス−グロタンディークの定理

定理解説

体 $k$ と正整数 $n$ に対して、写像 $P\colon k^n \to k^n$ が多項式写像であるとは、 $P_1, \dots, P_n \in k[x_1, \dots, x_n]$ が存在して

$P(x_1, \dots, x_n)=(P_1(x_1, \dots, x_n), \dots, P_n(x_1, \dots, x_n) ) \quad (x_1, \dots, x_n) \in k^n$

が成り立つときにいいます。この記事ではTaoの記事とそのコメント欄を参考に次の定理のSerreの議論に基づいた証明を解説します。

定理(Ax, Grothendieck) 多項式写像 $P\colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ が単射であれば全射である。

Hilbertの零点定理を使って、無限体の話を有限体の話へ移します。この記事では可換環論の幾つかの命題を既知と仮定します。

可換環論からの準備

Hilbertの零点定理

$k$ を体とし、 $k[x_1, \dots, x_n]$ のイデアル $I$ に対して、 $V(I)$ を

$V(I):=\{(a_1, \dots, a_n) \in k^n \mid f(a_1, \dots, a_n)=0 \ ({}^{\forall}f \in I)\}$

と定義し、集合 $S \subset k^n$ に対してイデアル $I(S) \subset k[x_1, \dots, x_n]$ を

$I(S) := \{f \in k[x_1, \dots, x_n] \mid f(a_1, \dots, a_n)= 0 \ ({}^{\forall}a_1, \dots, a_n) \in S\}$

と定義する。また、イデアル $I$ の根基 $\sqrt{I}$ は

$\displaystyle \sqrt{I}:=\{f \in k[x_1, \dots, x_n] \mid f^r \in I \ ({}^{\exists}r \in \mathbb{N})\}$

で定義されるイデアルである。

Hilbertの零点定理 $k$ を代数閉体とする。このとき、イデアル $I \subset k[x_1, \dots, x_n]$ に対して、 $I(V(I) )=\sqrt{I}$ が成り立つ。

Jacobson環

可換環 $R$ がJacobson環であるとは、 $R$ の任意の素イデアルが極大イデアルの共通部分として表されるときにいう。体や $\mathbb{Z}$ はJacobson環である。

定理１ 可換環 $R$ がJacobson環であれば、多項式環 $R[x_1, \dots, x_n]$ もJacobson環である。

この定理はHilbertの零点定理の一般化と考えることができる。実際、体 $k$ がJacobson環であることから $k[x_1, \dots, x_n]$ のイデアル $I$ に対して $\sqrt{I}=\bigcap_{I \subset \mathfrak{p}}\mathfrak{p}=\bigcap_{I \subset \mathfrak{m}}\mathfrak{m}$ *1が成立し、これがkeyとなって $k$ が代数閉体の場合に零点定理の主張が証明される。

この定理１を利用して次の重要な定理が示される：

定理２ 可換環 $R$ がJacobson環で体 $k$ は $R$ 上有限生成な環とする。このとき、 $k$ は $R$ 上有限生成加群である。

$R$ を体とすればZariskiの補題となる(Zariski版零点定理と呼ばれることもある)。

Zariskiの補題 体 $k$ 上有限生成な体は $k$ の有限次拡大体である。

有限性に関する補題

補題 $\mathbb{Z}$ 上有限生成な可換環の極大イデアルによる剰余体は有限体である。

証明. $R$ を $\mathbb{Z}$ 上有限生成な可換環とし、 $R$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ をとって剰余体を $k:=R/\mathfrak{m}$ とすると、 $k$ は $\mathbb{Z}$ 上有限生成なので $\mathbb{Z}$ がJacobson環であることと定理２から $k$ は $\mathbb{Z}$ 上有限生成加群である。もし $k$ の標数が $0$ であれば $\mathbb{Q}$ が $k$ の部分 $\mathbb{Z}$ 加群となるが、 $\mathbb{Z}$ はNoether環なので $\mathbb{Q}$ も $\mathbb{Z}$ 上有限生成となってしまう。これはあり得ない(有理数の分母の素因数が有限通りしかあり得なくなってしまうため)。よって、 $k$ の標数は $p > 0$ である。すると、 $k$ は $\mathbb{F}_p$ 上有限生成な環なのでZariskiの補題より $k$ は $\mathbb{F}_p$ の有限次拡大となり、それは有限体である。 Q.E.D.

Ax-Grothendieckの定理の証明

$P\colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ を多項式写像とし( $P=(P_1, \dots, P_n)$ )、単射であると仮定する。 $2n$ 変数多項式環 $\mathbb{C}[x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_n]$ のイデアル $I$ を $P_1(\boldsymbol{x})-P_1(\boldsymbol{y}), \dots, P_n(\boldsymbol{x})-P_n(\boldsymbol{y})$ の生成するイデアルとする( $\boldsymbol{x}=(x_1, \dots, x_n), \boldsymbol{y}=(y_1, \dots, y_n)$ )。 $P$ の単射性から各 $j=1, \dots, n$ に対して $x_j-y_j \in I(V(I) )$ なので、Hilbertの零点定理によって $Q_{i, j} \in \mathbb{C}[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$ ( $1 \leq i, j \leq n$ )および $r_i \in \mathbb{N}$ が存在して

$\displaystyle \sum_{i=1}^n(P_i(\boldsymbol{x})-P_i(\boldsymbol{y}) )Q_{i, j}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = (x_j-y_j)^{r_j}$ –①

が成り立つ。ここで、背理法で定理を証明するために $P$ は全射ではないと仮定する。すると、或る $\boldsymbol{a}=(a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{C}^n$ が存在して、任意の $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^n$ に対して $P(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{a} \neq 0$ が成り立つ。これより、 $I$ を $P_1(\boldsymbol{x})-a_1, \dots, P_n(\boldsymbol{x})-a_n$ の生成する $\mathbb{C}[\boldsymbol{x}]$ のイデアルとすると $1 \in I(V(I) )$ であり、Hilbertの零点定理によって $R_i \in \mathbb{C}[\boldsymbol{x}]$ が存在して

$\displaystyle \sum_{i=1}^n(P_i(\boldsymbol{x})-a_i)R_i(\boldsymbol{x})=1$ –②

が成り立つ。

今、可換環 $R \subset \mathbb{C}$ を $P_i, Q_{i, j}, R_i$ ( $1 \leq i, j \leq n$ )の係数達および $a_1, \dots, a_n$ が生成する $\mathbb{Z}$ 上の環とする。 $R$ の極大イデアルの一つを $\mathfrak{m}$ とすると、有限性に関する補題から $k:=R/\mathfrak{m}$ は有限体である。 $R$ の定義から、①、②は $k$ 係数の等式と思って成立することがわかる。これは $P$ を $k$ 係数に還元した多項式写像 $\widetilde{P}\colon k^n \to k^n$ が単射でありかつ全射でないことを示している。つまり、或る有限集合から自分自身への全射でない単射が存在するといっているのである。そんな馬鹿な。 Q.E.D.