のようにを繰り返し並べて出来る整数のことをレピュニット(Repunit)といいます(Repeated unitの略)*1。
特に、は素数です。このような素数をレピュニット素数と呼びましょう。以外にレピュニット素数はあるでしょうか?
下から順に素因数分解してみましょう。
← 素数!!
11の次のレピュニット素数は1111111111111111111(1が19個)であることがわかりました。
その次のレピュニット素数は何でしょうか? ここで、記号を導入します:
ただし、は自然数。
例えば、です。
実は、現在知られているレピュニット素数は
の五つのみです。この他にも候補はあり、もしかしたらレピュニット素数は無数にあるかもしれませんが、誰も証明できていません。
ちなみに、レピュニット素数の添え字のはと全て素数ですが、これは偶然ではありません。そのことは次のように簡単にわかります。まず、因数分解
を思い出しておきます(は自然数)。もし、が合成数、すなわち、 (は以上の自然数)とすると、指数法則と上の因数分解により、
とが因数分解されてしまいます。, はともに以上の整数なので、は素数にはなり得ないことが示されました。
*1:この記事は2015年11月22日に公開した記事ですが、はてな記法へ変更するために再投稿したものです。