これは論文
C. A. Grimm, A conjecture on consecutive composite numbers, Amer. Math. Monthly 76 (10) (1969), 1126–1128.
で提出された予想です*1。この論文では具体例として
があげられており、相異なる9個の素数をと選べます*2。
また、予想に関連して次の二つの定理を証明しています。一つ目は任意の長さの素数砂漠の存在を示すときに現れる有名な連続整数についてです。
証明. とすると、
である。
が素数のとき:
なので、
の中には
の倍数は一つしかない。
と
がともに合成数であるとき: このときは
以下の全ての素数は
を割り切るので、
と互いに素な
の素因数は全て
より大きく、やはりそれらは
しか割り切らない。
が合成数で
が素数のとき:
のとき:
が
を割り切るため、この場合も
以下の全ての素数は
を割り切り、後は同様。
のとき:
が
を割り切ったと仮定すると、
となるが、
とすると
より
となって、
となる。 Q.E.D.
証明. 各について
の所望の素因数
の存在を示したいわけであるが、もし
の素因数の個数が
個以上であれば、
以外の
個の数から取ってきた素因数達と異なる素因数を必ず選べるため、それが
となる。よって、
の素因数の個数が
個未満である場合を考える。すると、
と素因数分解される。このとき、
なので、鳩ノ巣原理によってなる素因数が存在する。これを
と名付け候補素因数とする。素因数の個数が
個未満であるもの達の中で候補素因数が被ったものがあったと仮定する。すなわち、
,
であったとする。
とする。すると、
であるにも関わらず、
が
を割り切って矛盾する。従って、
達は所望のものである。 Q.E.D.