ヤコビ記号 - INTEGERS

Jacobi記号について簡潔にまとめます。

Legendre記号、平方剰余の相互法則については

integers.hatenablog.com

をご覧ください。

定義 $n$ を正の奇数とし、 $m$ を $n$ と互いに素な整数とする。このとき、Jacobi記号 $\displaystyle \left(\frac{m}{n}\right)$ を次のように定義する：　まず、 $\displaystyle \left(\frac{m}{1}\right):=1$ とし、 $\displaystyle n=\prod_{p}p^{e_p}$ と $n$ が素因数分解される場合は $\displaystyle \left(\frac{m}{n}\right):=\prod_p\left(\frac{m}{p}\right)^{e_p}$ と定義する。ここで、奇素数 $p$ に対して $\displaystyle \left(\frac{m}{p}\right)$ はLegendre記号とする。

Jacobi記号が準同型写像 $\displaystyle \left(\frac{}{n}\right) \colon (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} \to \{\pm 1\}$ を与えることは定義からすぐにわかります。

Jacobi記号に対する相互法則と補充則をまとめましょう。

補題１ $a_1, \dots, a_n$ を奇数とする。このとき、

$\displaystyle \frac{a_1\cdots a_n-1}{2} \equiv \sum_{i=1}^n\frac{a_i-1}{2} \pmod{2}$

が成り立つ。

証明. $n=2$ の場合に証明すれば十分(帰納法)。 $n=2$ の場合は

$(a_1-1)(a_2-1) \equiv 0 \pmod{4}$

であることから従う。 Q.E.D.

第一補充則 $n$ を正の奇数とする。このとき、次が成立する：

$\displaystyle \left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{n-1}{2}}.$

証明. $n=1$ のときは自明。 $\displaystyle n=\prod_{p}p^{e_p}$ と $n$ が素因数分解される場合は、Legendre記号に対する第一補充則から

$\displaystyle \left(\frac{-1}{n}\right) = \prod_p\left(\frac{-1}{p}\right)^{e_p} =\prod_p(-1)^{e_p\frac{p-1}{2}}=(-1)^{\sum_pe_p\frac{p-1}{2}}$

が得られるが、補題１より $\displaystyle \sum_pe_p\frac{p-1}{2} \equiv \frac{n-1}{2} \pmod{2}$ なので、

$\displaystyle \left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{n-1}{2}}$

が示された。 Q.E.D.

補題２ $a_1, \dots, a_n$ を奇数とする。このとき、

$\displaystyle \frac{a_1^2\cdots a_n^2-1}{8} \equiv \sum_{i=1}^n\frac{a_i^2-1}{8} \pmod{2}$

が成り立つ。

証明. $n=2$ の場合に証明すれば十分(帰納法)。 $n=2$ の場合は

$(a_1^2-1)(a_2^2-1) \equiv 0 \pmod{16}$

であることから従う。 Q.E.D.

第二補充則 $n$ を正の奇数とする。このとき、次が成立する：

$\displaystyle \left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{\frac{n^2-1}{8}}.$

証明. $n=1$ のときは自明。 $\displaystyle n=\prod_{p}p^{e_p}$ と $n$ が素因数分解される場合は、Legendre記号に対する第二補充則から

$\displaystyle \left(\frac{2}{n}\right) = \prod_p\left(\frac{2}{p}\right)^{e_p} =\prod_p(-1)^{e_p\frac{p^2-1}{8}}=(-1)^{\sum_pe_p\frac{p^2-1}{8}}$

が得られるが、補題２より $\displaystyle \sum_pe_p\frac{p^2-1}{8} \equiv \frac{n^2-1}{8} \pmod{2}$ なので、

$\displaystyle \left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{\frac{n^2-1}{8}}$

が示された。 Q.E.D.

Jacobi記号に対する相互法則 $n, m$ を互いに素な正の奇数とする。このとき、

$\displaystyle \left(\frac{n}{m}\right)\left(\frac{m}{n}\right) = (-1)^{\frac{n-1}{2}\frac{m-1}{2}}$

が成り立つ。

証明. $n$ または $m$ が $1$ の場合は自明。 $\displaystyle n=\prod_{p}p^{e_p}, \ m=\prod_qq^{f_q}$ と $n, m$ が素因数分解されている場合は

$\displaystyle \left(\frac{n}{m}\right) = \prod_q\left(\frac{n}{q}\right)^{f_q} =\prod_q\prod_p\left(\frac{p}{q}\right)^{e_pf_q},$

$\displaystyle \left(\frac{m}{n}\right) = \prod_p\left(\frac{m}{p}\right)^{e_p} =\prod_p\prod_q\left(\frac{q}{p}\right)^{e_pf_q}$

なので、平方剰余の相互法則より

$\displaystyle \left(\frac{n}{m}\right)\left(\frac{m}{n}\right) = \prod_{p, q}\left\{\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)\right\}^{e_pf_q} = \prod_{p, q}(-1)^{e_pf_q\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}= (-1)^{\sum_{p, q}e_pf_q\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$

と計算される。補題１より

$\displaystyle \sum_{p, q}e_pf_q\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2} = \Bigl(\sum_pe_p\frac{p-1}{2}\Bigr) \Bigl(\sum_qf_q\frac{q-1}{2}\Bigr) \equiv \frac{n-1}{2}\frac{m-1}{2} \pmod{2}$

なので、相互法則の証明が完了する。 Q.E.D.