は
倍すると両端に
をくっつけた数になるという性質を持っています:
一般の進法でこの性質を考えると、
が成り立つようなを求めるという問題が得られます(
は正整数で
は非負整数)。変形すれば、
となります。のときは
という条件になりますが、実際には
なので解なしです。一方、
とすると
が成り立つので、正整数が存在するための必要十分条件は
が整数となることです(そのとき、その整数値が)。
とおけば、これは
なるの存在性と同値です*1。
Fermatの小定理よりですが、
がわかるので、十進法で所望の性質を満たす整数は
と表される数となります(は非負整数)。
そうして、の場合が
なので、この数が最小とわかりました。
十進法では存在しましたが、このような性質を持つ整数が存在するようなはむしろ少数派であることがわかります:
以下、この定理を証明しましょう。定理で考えている集合をとします。
は
の
における位数。cf. カーマイケルのλ関数と絶対擬素数 - INTEGERS
証明. とすると
なる正整数
が存在するため、
の任意の素因数
に対して
である。すると、
の生成する
の部分群は
を部分群として含むので、
の位数は偶数である。 Q.E.D.
証明. の条件から
なので(第一補充則)、または
である。ここで使用している記号はLegendre記号である。
を
が成り立つように
または
を
で割った余りと定める。もし、
であれば、Eulerの規準より
となって、が奇数であることから
も奇数であることが従う。また、
なので
である。 Q.E.D.
証明. なる正整数
をとって(平方剰余の相互法則により存在)、
とおけば、が成り立つ。 Q.E.D.
証明. 補題2+補題3 Q.E.D.
とし、
に対して系で存在する
を固定します。
証明. 補題1と系より従う。 Q.E.D.
定理の証明. 毎に
とする。このとき、
が成り立つ。を
の相異なる元とするとき、中国剰余定理より
が存在して、
が成り立つので、
である。従って、命題および包含原理から
が得られる。であり、
なので、
となる。ディリクレの算術級数定理のL関数を用いない証明 - INTEGERSの定理2よりなので上記無限積は
であり、結局
が示された。 Q.E.D.
は密度は
ですが、無限集合であると予想されます。
根拠. を
なる素数であり、
も素数であるようなものとする。Schinzelの仮説Hよりこのような
は無数に存在すると予想されている。
なので、平方剰余の相互法則と第一補充則より
となる。これは、が偶数であることを意味する。というのも、
が奇数であれば、
から
となってしまうからである。よって、
と書くことができ、このとき、
となって、
であることがわかる。
*1:定義からはですが、
のときこの合同式は
では不成立のため、「
を満たす正整数
が存在する」ことと同値になります。