42の繰り返し+1

五つの数

$\begin{align} &42+1 = 43 \\ &4242+1=4243 \\ &424242+1=424243 \\ &42424242+1=42424243 \\ &4242424242+1=4242424243\end{align}$

は全て素数です。

ちなみに

$424242424243 = 11 × 102329 × 376897$

です。 $4\times 6 - (2\times 5+3) = 11$ なので $11$ の倍数になっています。

$4243$ (や $42424243$ )は $1213$ のように $n$ と $n+1$ を結合させて出来る素数ですが、このシリーズは小さい順に

$\begin{align}&23, 67, 89, 1213, 3637, 4243, 5051, 5657, 6263, 6869, 7879, 8081, 9091, 9293, 9697, \\ &102103, 108109, 120121, 126127, 138139,150151,156157,180181,186187,188189,\\ &192193, 200201, \dots\end{align}$

となっています。ついでに $n$ と $n-1$ を結合させて出来る素数シリーズは

$\begin{align}&43, 109, 2221, 2423, 3433, 4241, 5857, 7069, 7877, 8887, 10099, 102101, 108107, \\ &112111, 114113, 124123, 148147, 154153, 160159, 172171, 180179, 192191, 198197, \\ &202201, \dots\end{align}$

となっていますが、両方のシリーズによって双子素数をなすのは、 $4241, 4243$ が最小のものです。

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

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