1801241230056600523以下の素数の逆数和は4を超える

当ブログでも既に何通りもの証明を解説しているように、素数の逆数の和は発散しますが

$\displaystyle \sum_{p}\frac{1}{p} = \infty$

素数 $5, 277, 5195977, 1801241230056600523$ までの素数の逆数和がそれぞれ $1, 2, 3, 4$ を始めて超えることが知られています。例えば、E. Bach, D. Klyve, J. P. Sorensonによって

$\displaystyle \sum_{p \leq 1801241230056600467}\frac{1}{p} ≒ 3.99999999999999999966$

及び

$\displaystyle \sum_{p \leq 1801241230056600523}\frac{1}{p} ≒ 4.00000000000000000021$

が得られています。

16843：ウォルステンホルム素数、調和数、調和級数、オイラーの定数 - INTEGERSで第 $n$ 調和数が $n \geq 2$ で整数になり得ないことを証明しましたが、ここでは次の定理の証明を紹介しておきます。

定理 $p_n$ で $n$ 番目の素数を表すとき、

$\displaystyle \frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\cdots +\frac{1}{p_n}$

は整数ではない。

証明. 背理法で証明する。すなわち、或る整数 $N$ が存在して

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{1}{p_i} = N$

と書けたと仮定する。このとき、

$\displaystyle N\prod_{i=1}^np_i = \sum_{i=1}^n\prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^np_j$

が成り立つが、 $p_1=2$ なので

$\displaystyle N\prod_{i=1}^np_i \equiv 0 \pmod{2}$

である一方、

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^np_j \equiv \prod_{j=2}^np_j \equiv 1 \pmod{2}$

なので、これは矛盾である。 Q.E.D.