7499を9乗せよ

$7499$ は素数ですが、ちょっとした面白いことがあって、9乗すると

$7499^9=\color{red}{7499}463269501373182792606047506\color{red}{7499}$

と、十進法表記で $7499$ で始まり $7499$ で終わる数となります。

素数という条件を除けば

$75^9=\color{red}{75}084 686279 2968\color{red}{75}$

があり、

9乗すると始まりに同じ数が並ぶという条件だけであれば、自明な $10^n$ を除いて

$750^9=\color{red}{75 0}84686 279296 875000 000000$

$4217^9=\color{red}{421 7}27973 615090 139343 954369 066297$

$177828^9=\color{red}{177828} 471969 566370 243451 231832 201532 345852 100608$

$\begin{align}74989421^9= \ &\color{red}{74989 421}534 035340 297507 402891 948416 722664 573972 689037 0353\\ &37 605951 367181\end{align}$

$\begin{align}5623413252^9= \ &\color{red}{5623 413252} 772073 568463 543397 362060 681005 680723 308150 492 \\ &980 669568 460391 193081 084136 128512\end{align}$

$\begin{align}177827941004^9= \ &\color{red}{177827 941004} 861759 019665 392906 351986 353788 714197 56655 \\ &8 751365 002764 098744 817294 884503 549528 012816 646144\end{align}$

$\begin{align}1778279410039^9= \ &\color{red}{177 827941 0039}61 759019 663055 910740 659821 979903 365064 1\\ &88011 966253 067834 071311 141876 449474 851881 911837 88572\\ &7 048759\end{align}$

$\begin{align}56234132519035^9= \ &\color{red}{5623 413251 9035}73 568403 916818 422885 206176 584908 20892\\ &2 176382 739224 486437 765030 631280 276190 520576 682326 57\\ &1465 340586 265248 046875\end{align}$

などがあります。

これを眺めていると、「9乗すると始まりに同じ数が並ぶような数」には何か法則がありそうです。ここでは、

$75, \ 750, \ 7499, \ 74989421, \dots$

という系列について考察してみます*1 。

まず、一般に正整数 $N$ が「9乗すると始まりに同じ数が並ぶような数」であるための必要十分条件は、 $d( \ )$ を桁数を返す関数とするとき

$\displaystyle N^9-N\times 10^{d(N^9)-d(N)} < 10^{d(N^9)-d(N)}$

が成り立つことです。これは

$\displaystyle \frac{N^9}{N+1} < 10^{d(N^9)-d(N)}$

と書き直せます。

次に、特殊なケースとして $k$ を $8$ で割った余りが $7$ であるような自然数とし、 $N:=\lceil 10^{\frac{k}{8}} \rceil$ とおきましょう。 $k=8n+7$ と書けば

$10^n < 10^{n+\frac{7}{8}} \leq N < 10^{n+\frac{7}{8}}+1 < 10^{n+1}$

なので、 $d(N)=\frac{k+1}{8}$ です。また、 $k \geq 15$ であれば

$\displaystyle 10^{9n+7} < 10^{9(n+\frac{7}{8})} \leq N^9 < (10^{n+\frac{7}{8}}+1)^9 < 10^{9n+8}$

なので、 $d(N^9)=\frac{9k+1}{8}$ です。つまり、 $d(N^9)-d(N) = k$ がわかりました。よって、今考えている $N$ については、 $k \geq 15$ であれば

$\displaystyle \frac{N^9}{N+1} < 10^k$

が $N^9$ の始まりに $N$ が並ぶための必要十分条件となります。ところで、例えば $N \geq 14$ ( $k \geq 15$ のときOK)であれば

$\displaystyle \frac{N^9}{N+1} < (N-0.12)^8$

を証明できるので、 $k \geq 15$ に対して

$\lceil 10^{\frac{k}{8}}\rceil-0.12 < 10^{\frac{k}{8}}$

であれば、すなわち、 $N=\lceil 10^{\frac{k}{8}}\rceil$ の小数部分が $.88\cdots$ 以上であれば $N$ は所望の性質を満たすことがわかりました。

以上の考察により、

$\begin{align} 10^{\frac{15}{8}} &= 74.989\cdots \\ 10^{\frac{23}{8}} &= 749.894\cdots \\ 10^{\frac{31}{8}} &= 7498.942\cdots \\ 10^{\frac{55}{8}} &= 74989420.933\cdots \end{align}$

という数値から、 $75, \ 750, \ 7499, \ 74989421$ が得られることがわかります。もっと先を調べると

$10^{\frac{335}{8}} = 749894209332455827302184275615136438441867.918\cdots$

が見つかるので、 $749894209332455827302184275615136438441868$ が同じ性質を満たすことがわかります。実際、

$\begin{align}&749894209332455827302184275615136438441868^9=\\ &\color{red}{74989 420933 245582 730218 427561 513643 8441868}65468 023188 303664 795656 137\\ &979 866271 497615 493193 213829 067683 742158 256832 984504 251147 411256 35514\\ &5 572640 846709 459761 678674 501543 607547 271959 684493 964701 504947 982407 1\\ &76708 077240 011547 814080 344624 024384 107480 840508 313893 590927 231099 422\\ &737 152182 901079 897867 117895 413749 327632 377715 218449 807820 843861 23697\\ &9 253256 871144 169627 013729 163030 560768\end{align}$