INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

ブニャコフスキー予想と41と1091

整数整数-41 整数-1091 整数-3551349655007944406147

1857年にBunyakovskyによって提出された有名な予想があります。

Bunyakovsky予想 次数が $1$ 以上の整数係数多項式 $f(x)$ に対して、集合 $S(f):= \{f(n) \mid n \in \mathbb{N}\}$ が素数を無数に含むための必要十分条件は次の三条件を満たすことである:
(I) $f(x)$ の先頭項は正である. (II) $f(x)$ は $\mathbb{Z}[x]$ において既約. (III) $\mathrm{gcd}(S(f) )=1$ .

円分多項式

予想の条件を満たす多項式として円分多項式があります*1。

$f(x)$ が一次式のケースはDirichletの算術級数定理なので解決していますが、二次以上の場合の十分性が証明されているケースはありません。

$\Phi_4(x) = x^2+1$ の場合ですら未解決であり、これは所謂Landauの第四問題です*2。

Eulerの幸運数

多項式 $x^2+x+41$ もBunyakovsky予想の条件を満たしますが、 $x=0, 1, \dots, 39$ を代入すると全部素数となるため、 $41$ はEulerの幸運数と呼ばれています。

tsujimotter.hatenablog.com

$1091$ の話

$1091$ は素数なので、Eisensteinの判定法によって $x^6+1091$ はBunyakovsky予想の条件を満たします。なので、予想としては $x^6+1091$ 型素数は無数に存在しますが、 $x=1, 2, \dots, 3905$ を代入すると全て合成数です。そして、 $x=3906$ を代入して初めて素数

$3906^6+1091=3551349655007944406147$

に出会います。

*1:素数 $p$ に対して $p \nmid \Phi_n(p)$ であることから条件(III)を満たすことがわかります

*2:第一問題=Goldbach予想、第二問題=双子素数予想、第三問題=Legendre予想。