大野予想

この記事では大野予想を紹介します。先生方の敬称は本文中では省略させていただきます。

2元3次形式

$V$ を2元3次形式の空間とします:

$V:=\{F(x,y)=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3 \mid a,b,c,d\in\mathbb{R}\}.$

$F(x,y)=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3\in V$ の判別式 $D(F)$ を

$D(F):=18abcd+b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2$

で定義します。

$F_1(x,y)=a_1x^3+b_1x^2y+c_1xy^2+d_1y^3, F_2(x,y)=a_2x^3+b_2x^2y+c_2xy^2+d_2y^3\in V$ に対して、内積 $\langle F_1, F_2\rangle$ を

$\displaystyle \langle F_1, F_2\rangle:=d_1a_2-\frac{1}{3}c_1b_2+\frac{1}{3}b_1c_2-a_1d_2$

で定義します。そして、格子 $L\subset V$ を

$L:=\{F(x,y)=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3 \mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}\}$

で定義し、その双対 $\widehat{L}$ を

$\widehat{L}:=\{F_1\in V \mid \forall F_2\in V, \langle F_1, F_2\rangle \in \mathbb{Z}\}$

で定義します。 $\widehat{L}\subset L$ が成り立っています。

$F_1, F_2\in L$ が同値であるとは、ある $g\in SL_2(\mathbb{Z})$ に対して

$F_1((x,y)g)=F_2(x,y)$

が成り立つときをいいます。

$0$ でない整数 $n$ に対して、 $L(n)$ および $\widehat{L}(n)$ を

$L(n):= \{F\in L \mid D(F)=n\}, \quad \widehat{L}(n):= \{F\in \widehat{L} \mid D(F)=n\}$

と定義します。

ここで、6種類の類数を導入します（全て有限値であることが証明されています）。

$h(n)$ は $L(n)$ における同値類の個数。

$\widehat{h}(n)$ は $\widehat{L}(n)$ における同値類の個数。

残り4つを導入するために記号を導入します。 $F\in L$ に対して、 $\mathrm{Stab}(F)$ を

$\mathrm{Stab}(F):=\{g \in SL_2(\mathbb{Z}) \mid F((x,y)g)=F(x,y)\}$

と定めます。このとき、 $\#\mathrm{Stab}(F)\in\{1,3\}$ が知られています。

$h_1(n)$ は $L(n)$ における $\#\mathrm{Stab}(F)=1$ を満たすようなものの同値類の個数。

$h_2(n)$ は $L(n)$ における $\#\mathrm{Stab}(F)=3$ を満たすようなものの同値類の個数。

$\widehat{h}_1(n)$ は $\widehat{L}(n)$ における $\#\mathrm{Stab}(F)=1$ を満たすようなものの同値類の個数。

$\widehat{h}_2(n)$ は $\widehat{L}(n)$ における $\#\mathrm{Stab}(F)=3$ を満たすようなものの同値類の個数。

新谷の4つのディリクレ級数

新谷卓郎は論文

T. Shintani, On Dirichlet series whose coe􏰁fficients are class numbers of integral binary cubic forms, J. Math. Soc. Japan 24 (1972), 132–188.

において、4つのディリクレ級数 $\xi_1(L,s)$ , $\xi_2(L,s)$ , $\xi_1(\widehat{L},s)$ , $\xi_2(\widehat{L},s)$ を次のように定義しました。

$\begin{align} \xi_1(L,s)&:=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h_1(n)+\frac{1}{3}h_2(n)}{n^s},\\ \xi_2(L,s)&:=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h(-n)}{n^s},\\ \xi_1(\widehat{L},s)&:=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\widehat{h}_1(n)+\frac{1}{3}\widehat{h}_2(n)}{n^s},\\ \xi_2(\widehat{L},s)&:=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\widehat{h}(-n)}{n^s}.\end{align}$

これらは全て $s$ の実部が $1$ より大きいとき絶対収束します。そして、新谷卓郎はこれらの関数を有理型接続し、関数等式

$\displaystyle \binom{\xi_1(L,1-s)}{\xi_2(L,1-s)}=\Gamma\left(s-\frac{1}{6}\right)\Gamma(s)^2\Gamma\left(s+\frac{1}{6}\right)\frac{3^{6s-2}}{2\pi^{4s}}\begin{pmatrix} \sin(2\pi s) & \sin(\pi s) \\ 3\sin(\pi s) & \sin(2\pi s) \end{pmatrix}\binom{\xi_1(\widehat{L},s)}{\xi_2(\widehat{L},s)}$

を証明しました。

大野泰生は数値計算の結果を丹念に眺めることにより、4つあるかに見えたディリクレ級数が実質的に2つであることを発見しました。論文

Y. Ohno, A conjecture on coincidence among the zeta functions associated with the space of binary cubic forms, Amer. J. Math. 119 (1997), 1083–1094.

において提示されたその予想式は

$\begin{align} \xi_1(\widehat{L},s)&=3^{-3s}\xi_2(L,s), \\ \xi_2(\widehat{L},x)&=3^{1-3s}\xi_1(L,s)\end{align}$

です。

この予想が正しければ、

$\begin{align} Z_+(s)&:=2^s3^{\frac{3s}{2}}\pi^{-2s}\Gamma(s)\Gamma\left(\frac{s}{2}+\frac{1}{12}\right)\Gamma\left(\frac{s}{2}-\frac{1}{12}\right)\left(3^{\frac{1}{2}}\xi_1(L,s)+\xi_2(L,s)\right), \\ Z_-(s)&:=2^s3^{\frac{3s}{2}}\pi^{-2s}\Gamma(s)\Gamma\left(\frac{s}{2}+\frac{5}{12}\right)\Gamma\left(\frac{s}{2}-\frac{7}{12}\right)\left(3^{\frac{1}{2}}\xi_1(L,s)-\xi_2(L,s)\right)\end{align}$