ラドチェンコ・ヴィアゾフスカの補間公式

可積分関数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ のフーリエ変換 $\widehat{f}$ を

$\displaystyle \widehat{f}(\xi):=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i\xi x}\mathrm{d}x$

とします。

定理 (Rdadchenko–Viazovska, 2019) $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を偶関数であるようなシュワルツ関数(=偶シュワルツ関数)とする。このとき、 $f$ は

$f(\sqrt{1}), \ f(\sqrt{2}), \ f(\sqrt{3}), \ f(\sqrt{4}), \ f(\sqrt{5}),\dots$

および

$\widehat{f}(\sqrt{1}), \ \widehat{f}(\sqrt{2}), \ \widehat{f}(\sqrt{3}), \ \widehat{f}(\sqrt{4}), \ \widehat{f}(\sqrt{5}),\dots$

の情報から定まる。より詳しく、 $f$ に依存しない偶シュワルツ関数の族 $(a_n\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R})_{n=0}^{\infty}$ が存在して、任意の $x\in\mathbb{R}$ に対して級数

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x)f(\sqrt{n}),\quad \sum_{n=0}^{\infty}\widehat{a}_n(x)\widehat{f}(\sqrt{n})$

は絶対収束し、等式

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x) f(\sqrt{n})+\sum_{n=0}^{\infty}\widehat{a}_n(x)\widehat{f}(\sqrt{n})$

が成立する。

証明は、重さ $\frac{3}{2}$ の弱正則モジュラー形式を用いて $a_n$ を具体的に構成するというものです。

D. Radchenko, M. Viazovska, Fourier interpolation on the real line, Publications mathématiques de l'IHÉS 129 (2019), 51–81.

INTEGERS