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数、特に整数に関する記事。

ラドチェンコ・ヴィアゾフスカの補間公式

積分関数 f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}フーリエ変換 \widehat{f}

\displaystyle \widehat{f}(\xi):=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i\xi x}\mathrm{d}x

とします。

定理 (Rdadchenko–Viazovska, 2019) f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}を偶関数であるようなシュワルツ関数(=偶シュワルツ関数)とする。このとき、f
f(\sqrt{1}), \ f(\sqrt{2}), \ f(\sqrt{3}), \ f(\sqrt{4}), \ f(\sqrt{5}),\dots
および
\widehat{f}(\sqrt{1}), \ \widehat{f}(\sqrt{2}), \ \widehat{f}(\sqrt{3}), \ \widehat{f}(\sqrt{4}), \ \widehat{f}(\sqrt{5}),\dots
の情報から定まる。より詳しく、fに依存しない偶シュワルツ関数の族(a_n\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R})_{n=0}^{\infty}が存在して、任意のx\in\mathbb{R}に対して級数
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x)f(\sqrt{n}),\quad \sum_{n=0}^{\infty}\widehat{a}_n(x)\widehat{f}(\sqrt{n})
は絶対収束し、等式
\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x) f(\sqrt{n})+\sum_{n=0}^{\infty}\widehat{a}_n(x)\widehat{f}(\sqrt{n})
が成立する。

証明は、重さ\frac{3}{2}の弱正則モジュラー形式を用いてa_nを具体的に構成するというものです。

D. Radchenko, M. Viazovska, Fourier interpolation on the real line, Publications mathématiques de l'IHÉS 129 (2019), 51–81.