インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

素数定理の初等的証明(Selbergの漸近公式編)

この記事は全四回で素数定理の初等的証明を紹介する試みの二回目の記事である:
integers.hatenablog.com

この記事ではSelbergの漸近公式を証明する。漸近公式は全てx \to \inftyで考える。また、p, q, rは(必ずしも異なるとは限らない)素数とする。

自然数nに対して、\displaystyle \theta_n := \sum_{d \mid n}\mu (d)\log^2 \frac{n}{d}とする。ここで、\mu (d)はMöbius関数である。次の補題によって\theta_nの具体的な値が計算できる:

補題 次の等式が成立する。
\displaystyle \theta_n = \begin{cases}(2i-1)\log^2p & (n=p^i, i \geq 1) \\ 2\log p\log q & (n=p^iq^j, i \geq 1, j \geq 1, p \neq q) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}.

証明.
n=1のとき: 定義より\theta_1 =0.

n=p^i, \ i \geq 1のとき:

\displaystyle \theta_n = \log^2 p^i-\log^2 p^{i-1}=(2i-1)\log^2 p.

n=p^iq^j, \ i\geq 1, \ j\geq 1, p \neq qのとき:

\begin{equation}\begin{split}\theta_n &= \log^2 (p^i q^j)-\log^2(p^{i-1}q^j)-\log^2 (p^i q^{j-1})+\log^2 (p^{i-1}q^{j-1}) \\ &= \{ (2i-1)\log p+2j\log q\} \log p  - \{(2i-1)\log p+(2j-2)\log q\} \log p \\ &= 2\log p\log q.\end{split}\end{equation}

n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}, \ p_1, \dots, p_kは相異なる素数、e_i \geq 1 \ (1 \leq i \leq k), \ k \geq 3のとき:

\begin{equation}\begin{split}\theta_n &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_k}\mu (d)\log^2 \frac{n}{d} \\ &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d)\log^2 \frac{n}{d} + \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (dp_k)\log^2 \frac{n}{dp_k} \\ &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d) \left( \log^2 \frac{n}{d}-\log^2 \frac{n}{dp_k} \right) \\ &= \sum_{d \mid p_1\cdots p_{k-1}}\mu (d) \left( 2\log \frac{n}{d}-\log p_k \right) \log p_k \\ &= 2\log p_k \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d) \log \frac{n}{d} - \log^2p_k\sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d)\end{split}\end{equation}.
と変形される。
メビウス関数 - インテジャーズの補題1より\displaystyle \sum_{d \mid p_1\cdots p_{k-1}}\mu (d) =0であり、
\begin{equation}\begin{split}\sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d)\log \frac{n}{d} &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}}\mu (d) \log \frac{n}{d} + \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}}\mu (dp_{k-1})\log \frac{n}{dp_{k-1}} \\ &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}}\mu (d) \left( \log \frac{n}{d} - \log \frac{n}{dp_{k-1}} \right) \\ &= \log p_{k-1} \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}} \mu (d) = 0\end{split}\end{equation}
が成り立つ(k \geq 3に注意)。以上により、\theta_n=0である。 Q.E.D.

Selbergの漸近公式
\displaystyle \vartheta (x)\log x + \sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p = 2x\log x + O(x).

証明. \displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_nを二通りの方法で計算することによって証明する。まず、\theta_nの定義に基づいて二重和を計算すると、

\begin{equation}\begin{split}\sum_{n \leq x}\theta_n &= \sum_{n \leq x}\sum_{d\mid n}\mu (d) \log^2 \frac{n}{d} \\ &= \sum_{dm \leq x}\mu (d)\log^2 m \\ &= \sum_{d \leq x}\mu (d) \sum_{m \leq \frac{x}{d}}\log^2 m \\ &= x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\log^2 \frac{x}{d} -2x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\log \frac{x}{d} + 2x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d} + O\left( \sum_{d \leq x}\log^2 \frac{x}{d} \right) \\ &=2x\log x+O(x)\end{split}\end{equation}

と計算できる。ここで、四つ目の等号にアーベルの総和法 - INTEGERSの漸近公式2を用いており、五つ目の等号にはメビウス関数 - インテジャーズで証明した補題2および三つの漸近公式を用いている。

一方、補題1を用いて\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_nを計算すると、

\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_n = \sum_{p^i \leq x}(2i-1)\log^2p + \sum_{p^iq^j \leq x, \ p \neq q}\log p\log q

を得る*1
素数に関する漸近公式 - INTEGERSの漸近公式1、2よりi > 1または j > 1である項の寄与はO(x)であることがわかる。また、

\displaystyle \sum_{p^2 \leq x}\log^2 p = \sum_{p \leq \sqrt{x}}\log^2 p = O(\sqrt{x}\log^2 x) = O(x)

であるから、二つ目の和のp \neq qという条件も消すことができて、結局

\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_n = \sum_{p \leq x}\log^2 p+\sum_{pq \leq x}\log p\log q

が得られた。二通りの計算を合わせることにより、

\displaystyle \sum_{p \leq x}\log^2 p+\sum_{pq \leq x}\log p\log q=2x\log x+O(x) ―①

が示されたことになる。数列\{a_n\}nが素数pのときはa_n = \log p、その他の場合はa_n=0と定義する。この\{a_n\}\varphi (x) = \log xに対してAbelの総和法を適用すると、S(x)=\vartheta (x)なので、

\begin{equation}\begin{split}\sum_{p \leq x}\log^2 p &= \vartheta (x)\log x-\int_1^x\frac{\vartheta (t)}{t}dt \\ &= \vartheta (x)\log x + O\left( \int_1^xdt \right) \\ &= \vartheta (x)\log x +O(x)\end{split}\end{equation}

を得る。ここで、二つ目の等号でChebyshevの定理\vartheta (x) = O(x)を用いていることに注意。また、

\displaystyle \sum_{pq \leq x}\log p\log q = \sum_{p \leq x}\log p\sum_{q \leq \frac{x}{p}}\log q = \sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p

である。以上を組み合わせて、Selbergの漸近公式の証明が完了する。 Q.E.D.

Selbergの漸近公式から2つの漸近公式を系として導出して今回の記事を終える:

系1 次の漸近公式が成立する:
\displaystyle \vartheta (x) + \sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{\log pq} = 2x + O\left( \frac{x}{\log x} \right).

証明. 2以上の自然数nに対してa_n

\displaystyle a_n := \begin{cases}\log^2 p & (n=p) \\ \log p\log q & (n=pq) \\ 0 & (\text{otherwise})\end{cases}
で定める。この数列\{a_n\}n_0=2\displaystyle \varphi (x) = \frac{1}{\log x}に対してAbelの総和法を適用すると、①より

\displaystyle S(x) = \sum_{p \leq x}\log^2 p + \sum_{pq \leq x}\log p\log q = 2x\log x +O(x)

であり、

\displaystyle \vartheta (x) + \sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{\log pq} = \frac{S(x)}{\log x} + \int_2^x\frac{S(t)}{t\log^2 t}dt = 2x + O\left( \frac{x}{\log x} \right)  + O(\mathrm{Li}(x))

を得る。
1229:素数定理 - インテジャーズで示したことから、\displaystyle \mathrm{Li}(x) = O\left( \frac{x}{\log x} \right)なので、証明が完了する。 Q.E.D.

系2 次の漸近公式が成立する:
\displaystyle \vartheta (x)\log x = \sum_{pq \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{pq} \right) \frac{\log p\log q}{\log pq} + O(x\sqrt{\log x}).

証明. \displaystyle p > \frac{x}{2} \Longrightarrow \vartheta \left( \frac{x}{p} \right) =0であることと、\displaystyle qr > \frac{x}{2} \Longrightarrow \vartheta \left( \frac{x}{qr} \right) = 0であることに注意すると、系1より

\begin{equation}\begin{split}\sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p &= \sum_{p \leq \frac{x}{2}} \vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p \\ &= \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{2x}{p}\log p - \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\log p\sum_{qr \leq \frac{x}{p}}\frac{\log q\log r}{\log qr}+O\left( \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{x}{p\log \frac{x}{p}}\log p \right) \\ &= 2x\sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{\log p}{p} - \sum_{qr \leq x}\frac{\log q\log r}{\log qr}\sum_{p \leq \frac{x}{qr}}\log p + O\left( x\sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{\log p}{p\log \frac{x}{p}} \right)\end{split}\end{equation}

が得られる。Mertensの第一定理と素数に関する漸近公式 - INTEGERSで証明した漸近公式3を用いることにより

\displaystyle \sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p}\right) \log p = 2x\log x -\sum_{qr \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{qr} \right) \frac{\log q\log r}{\log qr} + O(x\sqrt{\log x}).

これとSelbergの漸近公式を合わせることによって所望の漸近公式が得られる。 Q.E.D.

*1:二つ目の和はp^iq^jq^jp^iを別々にカウントしているので、補題1の2\log p\log qにおける2が見かけ上消えていることに注意する。