素数定理の初等的証明（Selbergの漸近公式編）

この記事は全四回で素数定理の初等的証明を紹介する試みの二回目の記事である：
integers.hatenablog.com

この記事ではSelbergの漸近公式を証明する。漸近公式は全て $x \to \infty$ で考える。また、 $p, q, r$ は（必ずしも異なるとは限らない）素数とする。

自然数 $n$ に対して、 $\displaystyle \theta_n := \sum_{d \mid n}\mu (d)\log^2 \frac{n}{d}$ とする。ここで、 $\mu (d)$ はMöbius関数である。次の補題によって $\theta_n$ の具体的な値が計算できる：

補題次の等式が成立する。

$\displaystyle \theta_n = \begin{cases}(2i-1)\log^2p & (n=p^i, i \geq 1) \\ 2\log p\log q & (n=p^iq^j, i \geq 1, j \geq 1, p \neq q) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}.$

証明.
$n=1$ のとき: 定義より $\theta_1 =0.$

$n=p^i, \ i \geq 1$ のとき:

$\displaystyle \theta_n = \log^2 p^i-\log^2 p^{i-1}=(2i-1)\log^2 p.$

$n=p^iq^j, \ i\geq 1, \ j\geq 1, p \neq q$ のとき:

$\begin{equation}\begin{split}\theta_n &= \log^2 (p^i q^j)-\log^2(p^{i-1}q^j)-\log^2 (p^i q^{j-1})+\log^2 (p^{i-1}q^{j-1}) \\ &= \{ (2i-1)\log p+2j\log q\} \log p - \{(2i-1)\log p+(2j-2)\log q\} \log p \\ &= 2\log p\log q.\end{split}\end{equation}$

$n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}, \ p_1, \dots, p_k$ は相異なる素数、 $e_i \geq 1 \ (1 \leq i \leq k), \ k \geq 3$ のとき:

$\begin{equation}\begin{split}\theta_n &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_k}\mu (d)\log^2 \frac{n}{d} \\ &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d)\log^2 \frac{n}{d} + \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (dp_k)\log^2 \frac{n}{dp_k} \\ &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d) \left( \log^2 \frac{n}{d}-\log^2 \frac{n}{dp_k} \right) \\ &= \sum_{d \mid p_1\cdots p_{k-1}}\mu (d) \left( 2\log \frac{n}{d}-\log p_k \right) \log p_k \\ &= 2\log p_k \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d) \log \frac{n}{d} - \log^2p_k\sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d)\end{split}\end{equation}.$

と変形される。
メビウス関数 - INTEGERSの補題１より $\displaystyle \sum_{d \mid p_1\cdots p_{k-1}}\mu (d) =0$ であり、

$\begin{equation}\begin{split}\sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d)\log \frac{n}{d} &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}}\mu (d) \log \frac{n}{d} + \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}}\mu (dp_{k-1})\log \frac{n}{dp_{k-1}} \\ &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}}\mu (d) \left( \log \frac{n}{d} - \log \frac{n}{dp_{k-1}} \right) \\ &= \log p_{k-1} \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}} \mu (d) = 0\end{split}\end{equation}$

が成り立つ( $k \geq 3$ に注意)。以上により、 $\theta_n=0$ である。 Q.E.D.

Selbergの漸近公式

$\displaystyle \vartheta (x)\log x + \sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p = 2x\log x + O(x).$

証明. $\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_n$ を二通りの方法で計算することによって証明する。まず、 $\theta_n$ の定義に基づいて二重和を計算すると、

$\begin{equation}\begin{split}\sum_{n \leq x}\theta_n &= \sum_{n \leq x}\sum_{d\mid n}\mu (d) \log^2 \frac{n}{d} \\ &= \sum_{dm \leq x}\mu (d)\log^2 m \\ &= \sum_{d \leq x}\mu (d) \sum_{m \leq \frac{x}{d}}\log^2 m \\ &= x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\log^2 \frac{x}{d} -2x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\log \frac{x}{d} + 2x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d} + O\left( \sum_{d \leq x}\log^2 \frac{x}{d} \right) \\ &=2x\log x+O(x)\end{split}\end{equation}$

と計算できる。ここで、四つ目の等号にアーベルの総和法 - INTEGERSの漸近公式２を用いており、五つ目の等号にはメビウス関数 - INTEGERSで証明した補題２および三つの漸近公式を用いている。

一方、補題１を用いて $\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_n$ を計算すると、

$\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_n = \sum_{p^i \leq x}(2i-1)\log^2p + \sum_{p^iq^j \leq x, \ p \neq q}\log p\log q$

を得る*1。
素数に関する漸近公式 - INTEGERSの漸近公式１、２より $i > 1$ または $j > 1$ である項の寄与は $O(x)$ であることがわかる。また、

$\displaystyle \sum_{p^2 \leq x}\log^2 p = \sum_{p \leq \sqrt{x}}\log^2 p = O(\sqrt{x}\log^2 x) = O(x)$

であるから、二つ目の和の $p \neq q$ という条件も消すことができて、結局

$\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_n = \sum_{p \leq x}\log^2 p+\sum_{pq \leq x}\log p\log q+O(x)$

が得られた。二通りの計算を合わせることにより、

$\displaystyle \sum_{p \leq x}\log^2 p+\sum_{pq \leq x}\log p\log q=2x\log x+O(x)$ ―①

が示されたことになる。数列 $\{a_n\}$ を $n$ が素数 $p$ のときは $a_n = \log p$ 、その他の場合は $a_n=0$ と定義する。この $\{a_n\}$ と $\varphi (x) = \log x$ に対してAbelの総和法を適用すると、 $S(x)=\vartheta (x)$ なので、

$\begin{equation}\begin{split}\sum_{p \leq x}\log^2 p &= \vartheta (x)\log x-\int_1^x\frac{\vartheta (t)}{t}dt \\ &= \vartheta (x)\log x + O\left( \int_1^xdt \right) \\ &= \vartheta (x)\log x +O(x)\end{split}\end{equation}$

を得る。ここで、二つ目の等号でChebyshevの定理 $\vartheta (x) = O(x)$ を用いていることに注意。また、

$\displaystyle \sum_{pq \leq x}\log p\log q = \sum_{p \leq x}\log p\sum_{q \leq \frac{x}{p}}\log q = \sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p$

である。以上を組み合わせて、Selbergの漸近公式の証明が完了する。 Q.E.D.

Selbergの漸近公式から２つの漸近公式を系として導出して今回の記事を終える：

系１次の漸近公式が成立する：

$\displaystyle \vartheta (x) + \sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{\log pq} = 2x + O\left( \frac{x}{\log x} \right).$

証明. $2$ 以上の自然数 $n$ に対して $a_n$ を

$\displaystyle a_n := \begin{cases}\log^2 p & (n=p) \\ \log p\log q & (n=pq) \\ 0 & (\text{otherwise})\end{cases}$

で定める。この数列 $\{a_n\}$ と $n_0=2$ 、 $\displaystyle \varphi (x) = \frac{1}{\log x}$ に対してAbelの総和法を適用すると、①より

$\displaystyle S(x) = \sum_{p \leq x}\log^2 p + \sum_{pq \leq x}\log p\log q = 2x\log x +O(x)$

であり、

$\displaystyle \vartheta (x) + \sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{\log pq} = \frac{S(x)}{\log x} + \int_2^x\frac{S(t)}{t\log^2 t}dt = 2x + O\left( \frac{x}{\log x} \right) + O(\mathrm{Li}(x))$

を得る。
素数定理 - INTEGERSで示したことから、 $\displaystyle \mathrm{Li}(x) = O\left( \frac{x}{\log x} \right)$ なので、証明が完了する。 Q.E.D.

系２次の漸近公式が成立する：

$\displaystyle \vartheta (x)\log x = \sum_{pq \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{pq} \right) \frac{\log p\log q}{\log pq} + O(x\sqrt{\log x}).$

証明. $\displaystyle p > \frac{x}{2} \Longrightarrow \vartheta \left( \frac{x}{p} \right) =0$ であることと、 $\displaystyle qr > \frac{x}{2} \Longrightarrow \vartheta \left( \frac{x}{qr} \right) = 0$ であることに注意すると、系１より

$\begin{equation}\begin{split}\sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p &= \sum_{p \leq \frac{x}{2}} \vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p \\ &= \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{2x}{p}\log p - \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\log p\sum_{qr \leq \frac{x}{p}}\frac{\log q\log r}{\log qr}+O\left( \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{x}{p\log \frac{x}{p}}\log p \right) \\ &= 2x\sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{\log p}{p} - \sum_{qr \leq x}\frac{\log q\log r}{\log qr}\sum_{p \leq \frac{x}{qr}}\log p + O\left( x\sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{\log p}{p\log \frac{x}{p}} \right)\end{split}\end{equation}$

が得られる。Mertensの第一定理と素数に関する漸近公式 - INTEGERSで証明した漸近公式３を用いることにより

$\displaystyle \sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p}\right) \log p = 2x\log x -\sum_{qr \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{qr} \right) \frac{\log q\log r}{\log qr} + O(x\sqrt{\log x}).$