素数定理の初等的証明（Selbergの漸近公式編）

この記事は全４回で素数定理の初等的証明を紹介する試みの二回目の記事である：
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この記事ではSelbergの漸近公式を証明する。漸近公式は全て $x \to \infty$ で考える。また、 $p, q, r$ は（必ずしも異なるとは限らない）素数とする。

自然数 $n$ に対して、 $\displaystyle \theta_n := \sum_{d \mid n}\mu (d)\log^2 \frac{n}{d}$ とする。ここで、 $\mu (d)$ はMöbius関数である。次の補題によって $\theta_n$ の具体的な値が計算できる：

補題

$\displaystyle \theta_n = \begin{cases}(2i-1)\log^2p & n=p^i, i \geq 1 \\ 2\log p\log q & n=p^iq^j, i \geq 1, j \geq 1, p \neq q \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}.$

証明.

$n=1$ のとき定義より $\theta_1 =0.$
$n=p^i, \ i \geq 1$ のとき

$\displaystyle \theta_n = \log^2 p^i-\log^2 p^{i-1}=(2i-1)\log^2 p.$

$n=p^iq^j, \ i\geq 1, \ j\geq 1, p \neq q$ のとき

$\begin{equation}\begin{split}\theta_n &= \log^2 (p^i q^j)-\log^2(p^{i-1}q^j)-\log^2 (p^i q^{j-1})+\log^2 (p^{i-1}q^{j-1}) \\ &= \{ (2i-1)\log p+2j\log q\} \log p - \{(2i-1)\log p+(2j-2)\log q\} \log p \\ &= 2\log p\log q.\end{split}\end{equation}$

$n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}, \ p_1, \dots, p_k$ は相異なる素数、 $e_i \geq 1 \ (1 \leq i \leq k), \ k \geq 3$ のとき

$\begin{equation}\begin{split}\theta_n &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_k}\mu (d)\log^2 \frac{n}{d} \\ &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d)\log^2 \frac{n}{d} + \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (dp_k)\log^2 \frac{n}{dp_k} \\ &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d) \left( \log^2 \frac{n}{d}-\log^2 \frac{n}{dp_k} \right) \\ &= \sum_{d \mid p_1\cdots p_{k-1}}\mu (d) \left( 2\log \frac{n}{d}-\log p_k \right) \log p_k \\ &= 2\log p_k \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d) \log \frac{n}{d} - \log^2p_k\sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d)\end{split}\end{equation}.$

と変形される。
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の補題１より $\displaystyle \sum_{d \mid p_1\cdots p_{k-1}}\mu (d) =0$ であり、

$\begin{equation}\begin{split}\sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-1}}\mu (d)\log \frac{n}{d} &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}}\mu (d) \log \frac{n}{d} + \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}}\mu (dp_{k-1})\log \frac{n}{dp_{k-1}} \\ &= \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}}\mu (d) \left( \log \frac{n}{d} - \log \frac{n}{dp_{k-1}} \right) \\ &= \log p_{k-1} \sum_{d \mid p_1 \cdots p_{k-2}} \mu (d) = 0\end{split}\end{equation}$

が成り立つ（ $k \geq 3$ に注意）。以上により、 $\theta_n=0$ である。 Q.E.D.

Selbergの漸近公式

$\displaystyle \vartheta (x)\log x + \sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p = 2x\log x + O(x).$

証明. $\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_n$ を二通りの方法で計算することによって証明する。まず、 $\theta_n$ の定義に基づいて二重和を計算すると、

$\begin{equation}\begin{split}\sum_{n \leq x}\theta_n &= \sum_{n \leq x}\sum_{d\mid n}\mu (d) \log^2 \frac{n}{d} \\ &= \sum_{dm \leq x}\mu (d)\log^2 m \\ &= \sum_{d \leq x}\mu (d) \sum_{m \leq \frac{x}{d}}\log^2 m \\ &= x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\log^2 \frac{x}{d} -2x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\log \frac{x}{d} + 2x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d} + O\left( \sum_{d \leq x}\log^2 \frac{x}{d} \right) \\ &=2x\log x+O(x)\end{split}\end{equation}$

と計算できる。ここで、４つ目の等号に
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の漸近公式２を用いており、５つ目の等号には
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で証明した補題２および３つの漸近公式を用いている。

一方、補題１を用いて $\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_n$ を計算すると、

$\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_n = \sum_{p^i \leq x}(2i-1)\log^2p + \sum_{p^iq^j \leq x, \ p \neq q}\log p\log q$

を得る*1。
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の漸近公式１、２より $i > 1$ または $j > 1$ である項の寄与は $O(x)$ であることがわかる。また、

$\displaystyle \sum_{p^2 \leq x}\log^2 p = \sum_{p \leq \sqrt{x}}\log^2 p = O(\sqrt{x}\log^2 x) = O(x)$

であるから、２つ目の和の $p \neq q$ という条件も消すことができて、結局

$\displaystyle \sum_{n \leq x}\theta_n = \sum_{p \leq x}\log^2 p+\sum_{pq \leq x}\log p\log q$

が得られた。二通りの計算を合わせることにより、

$\displaystyle \sum_{p \leq x}\log^2 p+\sum_{pq \leq x}\log p\log q=2x\log x+O(x)$ ―①

が示されたことになる。数列 $\{a_n\}$ を $n$ が素数 $p$ のときは $a_n = \log p$ 、その他の場合は $a_n=0$ と定義する。この $\{a_n\}$ と $\varphi (x) = \log x$ に対してAbelの総和法を適用すると、 $S(x)=\vartheta (x)$ なので、

$\begin{equation}\begin{split}\sum_{p \leq x}\log^2 p &= \vartheta (x)\log x-\int_1^x\frac{\vartheta (t)}{t}dt \\ &= \vartheta (x)\log x + O\left( \int_1^xdt \right) \\ &= \vartheta (x)\log x +O(x)\end{split}\end{equation}$

を得る。ここで、２つ目の等号でChebyshevの定理 $\vartheta (x) = O(x)$ を用いていることに注意。また、

$\displaystyle \sum_{pq \leq x}\log p\log q = \sum_{p \leq x}\log p\sum_{q \leq \frac{x}{p}}\log q = \sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p$

である。以上を組み合わせて、Selbergの漸近公式の証明が完了する。 Q.E.D.

Selbergの漸近公式から２つの漸近公式を系として導出して今回の記事を終える：

系１

$\displaystyle \vartheta (x) + \sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{\log pq} = 2x + O\left( \frac{x}{\log x} \right).$

証明. $2$ 以上の自然数 $n$ に対して $a_n$ を

$\displaystyle a_n := \begin{cases}\log^2 p & n=p \\ \log p\log q & n=pq \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$

で定める。この数列 $\{a_n\}$ と $n_0=2$ 、 $\displaystyle \varphi (x) = \frac{1}{\log x}$ に対してAbelの総和法を適用すると、①より

$\displaystyle S(x) = \sum_{p \leq x}\log^2 p + \sum_{pq \leq x}\log p\log q = 2x\log x +O(x)$

であり、

$\displaystyle \vartheta (x) + \sum_{pq \leq x}\frac{\log p\log q}{\log pq} = \frac{S(x)}{\log x} + \int_2^x\frac{S(t)}{t\log^2 t}dt = 2x + O\left( \frac{x}{\log x} \right) + O(\mathrm{Li}(x))$

を得る。
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で示したことから、 $\displaystyle \mathrm{Li}(x) = O\left( \frac{x}{\log x} \right)$ なので、証明が完了する。 Q.E.D.

系２

$\displaystyle \vartheta (x)\log x = \sum_{pq \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{pq} \right) \frac{\log p\log q}{\log pq} + O(x\sqrt{\log x}).$

証明. $\displaystyle p > \frac{x}{2} \Longrightarrow \vartheta \left( \frac{x}{p} \right) =0$ であることと、 $\displaystyle qr > \frac{x}{2} \Longrightarrow \vartheta \left( \frac{x}{qr} \right) = 0$ であることに注意すると、系１より

$\begin{equation}\begin{split}\sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p &= \sum_{p \leq \frac{x}{2}} \vartheta \left( \frac{x}{p} \right) \log p \\ &= \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{2x}{p}\log p - \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\log p\sum_{qr \leq \frac{x}{p}}\frac{\log q\log r}{\log qr}+O\left( \sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{x}{p\log \frac{x}{p}}\log p \right) \\ &= 2x\sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{\log p}{p} - \sum_{qr \leq x}\frac{\log q\log r}{\log qr}\sum_{p \leq \frac{x}{qr}}\log p + O\left( x\sum_{p \leq \frac{x}{2}}\frac{\log p}{p\log \frac{x}{p}} \right)\end{split}\end{equation}$

が得られる。Mertensの第一定理と
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で証明した漸近公式３を用いることにより

$\displaystyle \sum_{p \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{p}\right) \log p = 2x\log x -\sum_{qr \leq x}\vartheta \left( \frac{x}{qr} \right) \frac{\log q\log r}{\log qr} + O(x\sqrt{\log x}).$

これとSelbergの漸近公式を合わせることによって所望の漸近公式が得られる。 Q.E.D.

*1:二つ目の和は $p^iq^j$ と $q^jp^i$ を別々にカウントしているので、補題１の $2\log p\log q$ における $2$ が見かけ上消えていることに注意する。

素数定理の初等的証明（Selbergの漸近公式編）

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