素数魔方陣ー２

Rudolf Ondrejkaの素数魔方陣

$59$ という素数は、 $3\times 3$ の素数魔方陣*1のうち定和が最小となるようなものの中心の数です。

$17$	$89$	$71$
$113$	$59$	$5$
$47$	$29$	$101$

この素数魔方陣はRudolf Ondrejkaによって発見されたものです。

大きいサイズの素数魔方陣の存在性

ちなみに、 $n\times n$ 魔方陣があった場合、それを構成する数を $a_1, \dots, a_{n^2}$ とすると、

$a+a_1d, a+a_2d, \dots, a+a_{n^2}d$

を並べて魔方陣を作ることができます。例えば通常の $3\times 3$ 魔方陣

$2$	$7$	$6$
$9$	$5$	$1$
$4$	$3$	$8$

から

$199+1\cdot 210$	$199+6\cdot 210$	$199+5\cdot 210$
$199+8\cdot 210$	$199+4\cdot 210$	$199$
$199+3\cdot 210$	$199+2\cdot 210$	$199+7\cdot 210$

を作ると、素数魔方陣

$409$	$1459$	$1249$
$1879$	$1039$	$199$
$829$	$619$	$1669$

を作ることができます。つまり、Green-Taoの定理によっていくらでもサイズの大きい素数魔方陣の存在がわかります。

素数多重魔方陣

多重魔方陣( $n-$ 魔方陣＝各数を $2$ 乗、 $3$ 乗、... 、 $n$ 乗しても全て魔方陣になる)というものがありますが、こちらも多重魔方陣が一つあると同じ型の素数多重魔方陣*2の無限性がGreen-Taoの定理から保証されます( $(a+a_id)^n$ の展開と多重魔方陣の定義からわかる)。

例えば、Walter Trumpが三重魔方陣(定和 $=870$ 、二乗の定和 $=83810$ 、三乗の定和 $=9082800$ )

$1$	$9$	$75$	$74$	$140$	$122$	$55$	$132$	$73$	$58$	$80$	$51$
$22$	$119$	$141$	$8$	$101$	$76$	$27$	$117$	$64$	$98$	$34$	$63$
$33$	$45$	$35$	$106$	$124$	$142$	$95$	$68$	$2$	$84$	$105$	$31$
$41$	$115$	$48$	$49$	$42$	$86$	$135$	$91$	$121$	$116$	$6$	$20$
$62$	$107$	$57$	$12$	$60$	$67$	$130$	$11$	$109$	$138$	$92$	$25$
$66$	$93$	$14$	$43$	$37$	$126$	$89$	$99$	$32$	$16$	$127$	$128$
$79$	$52$	$131$	$102$	$108$	$19$	$56$	$46$	$113$	$129$	$18$	$17$
$83$	$38$	$88$	$133$	$85$	$78$	$15$	$134$	$36$	$7$	$53$	$120$
$104$	$30$	$97$	$96$	$103$	$59$	$10$	$54$	$24$	$29$	$139$	$125$
$112$	$100$	$110$	$39$	$21$	$3$	$50$	$77$	$143$	$61$	$40$	$114$
$123$	$26$	$4$	$137$	$44$	$69$	$118$	$28$	$81$	$47$	$111$	$82$
$144$	$136$	$70$	$71$	$5$	$23$	$90$	$13$	$72$	$87$	$65$	$94$