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数、特に整数に関する記事。

タオのセメレディ論文の§5を読む (その一)

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

§5 Almost periodic functions を二回に分けて読んでいきます。前半は一様概周期性ノルム族の定義を行います。

定義１ (Banach代数, Definition 5.1) Aを\mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})の部分\mathbb{C}-代数とする。このとき、Aが\mathbb{Z}_N上の関数達のなすBanach代数*1であるとは、ノルム
\left\| \cdot \right\|_A \colon A \to \mathbb{R}^+
が備わっており、ノルム性質

  • (斉次性) \ \left\|\lambda f\right\|_A = \left| \lambda \right| \left\|f\right\|_A \quad ({}^{\forall}\lambda \in \mathbb{C}, \ {}^{\forall}f \in A)
  • (非退化性) \ \left\| f\right\|_A= 0 \Longleftrightarrow f=0 \quad ({}^{\forall}f \in A)
  • (三角不等式) \ \left\|f+g\right\|_A \leq \left\|f\right\|_A+\left\|g\right\|_A \quad ({}^{\forall}f, g \in A)

を満たし、かつ

  • (複素共役不変性) \ \left\|\overline{f}\right\|_A = \left\|f\right\|_A \quad ({}^{\forall}f \in A)
  • (積閉性) \ \left\|fg\right\|_A \leq \left\|f\right\|_A\left\|g\right\|_A \quad ({}^{\forall}f, g \in A)
  • \left\|f\right\|_{L^{\infty}} \leq \left\|f\right\|_A \quad ({}^{\forall}f \in A)

を満たすときにいう。

f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) \setminus A に対しては便宜的に \left\|f\right\|_A := \infty と定めることによってノルム \left\| \cdot \right\|_A は任意の関数に対して定義されていると考えることにします。また、

B(A):=\{f \in A \mid \left\|f\right\|_A \leq 1\}, \quad B^-(A):=\{f \in A \mid \left\|f\right\|_A < 1\}

と記号を導入します(単位球)。

定義２ \mathbb{Z}_N上の関数達のなすBanach代数Aがシフト不変であるとは、任意のn \in \mathbb{Z}_N, \ f \in Aに対して \left\|T^nf\right\|_A = \left\|f\right\|_A が成り立つときにいう。また、Aがスケール不変であるとは、任意の\lambda \in \mathbb{Z}_N\setminus \{0\}, \ f \in Aに対して \left\|f_{\lambda}\right\|_A=\left\|f\right\|_A が成り立つときにいう。

シフト不変な場合は定義から f \in A \Longrightarrow T^nf \in A \ ({}^{\forall}n \in \mathbb{Z}_N)、 スケール不変な場合は f \in A \Longrightarrow f_{\lambda} \in A \ ({}^{\forall}\lambda \in \mathbb{Z}_N\setminus \{0\})に注意。

定義３ (一様概周期関数) Aを\mathbb{Z}_N上の関数達のなすBanach代数とする。関数 f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) が(Aに関する)一様概周期関数であるとは、

  • 空でない有限集合 H
  • 定数 M \geq 0
  • h \in H毎に定まる有界関数 g_h
  • (n, h) \in \mathbb{Z}_N\times H 毎に定まる c_{n, h} \in B(A)

が存在して、任意のn \in \mathbb{Z}_Nに対して

T^nf = M\mathbb{E}_{h \in H}\left( c_{n, h}g_h \right) −①

が成り立つときにいう。 ただし、右辺の\mathbb{E}_{h \in H}の部分は点毎に期待値を返す関数とする。

一様概周期関数に対して一様概周期性ノルムを定義します。

定義４ (一様概周期性ノルム, Definition 5.2) Aをシフト不変な\mathbb{Z}_N上の関数達のなすBanach代数とする。このとき、Aに関する一様概周期関数全体のなす集合をUAP[A]とし、f \in UAP[A]に対して、一様概周期性ノルム \left\|f\right\|_{UAP[A]}を一様概周期関数の定義によって存在するMの下限と定める。

次の命題はUAP[A]の基本性質を述べるものです：

命題 (Proposition 5.4) Aをシフト不変な\mathbb{Z}_N上の関数達のなすBanach代数とする。このとき、UAP[A]もシフト不変な\mathbb{Z}_N上の関数達のなすBanach代数をなし、

  • A \subset UAP[A]
  • \left\|f\right\|_{UAP[A]} \leq \left\|f\right\|_A \quad ({}^{\forall}f \in A)

が成り立つ。更にAがスケール不変であれば、UAP[A]もスケール不変となる。

証明. 確かめることが多数あるので一つずつ示していく。

\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}の非負性: ①においてM \geq 0であることから明らか。

UAP[A]がシフト不変であること: 一様概周期関数の定義におけるMは fのシフト軌道\{T^nf \mid n \in \mathbb{Z}_N\}に対して一律に存在することが要請されているので、\left\|T^nf\right\|_{UAP[A]}=\left\|f\right\|_{UAP[A]}である。

UAP[A]が複素共役不変性を満たすこと: 一様概周期関数 fに対して①のような表示があれば、

T^n\overline{f} = M\mathbb{E}_{h \in H}\left( \overline{c_{n, h}}\cdot \overline{g_h} \right)

であり、Aが\mathbb{Z}_N上の関数達のなすBanach代数であることから

\left\|\overline{c_{n, h}}\right\|_{A} = \left\|c_{n, h}\right\|_{A} \leq 1,\quad \left\|\overline{g_h}\right\|_{L^{\infty}} = \left\|g_h\right\|_{L^{\infty}} \leq 1

であるので、\overline{f}は一様概周期関数であり、\left\|\overline{f}\right\|_{UAP[A]}=\left\|f\right\|_{UAP[A]}が成り立つ。

UAP[A]がスカラー倍で閉じていることと\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}の斉次性: \lambda \in \mathbb{C}をre^{\sqrt{-1}\theta}と極形式で表す。一様概周期関数 fに対して①のような表示があれば、

T^n(\lambda f) = rM\mathbb{E}_{h \in H}\left( c_{n, h}(e^{\sqrt{-1}\theta}g_h) \right)

と表示でき、\left\|e^{\sqrt{-1}\theta}g_h\right\|_{L^{\infty}} = \left\|g_h\right\|_{L^{\infty}}であることから \lambda fは一様概周期関数であることがわかる。また、これは

\left\|\lambda f\right\|_{UAP[A]} = r\left\|f\right\|_{UAP[A]} = \left|\lambda\right| \left\|f\right\|_{UAP[A]}

であることも示している。

Aがスケール不変であればUAP[A]もスケール不変であること: T^nf_{\lambda}=(T^{\lambda^{-1}n}f)_{\lambda}なので、一様概周期関数 fに対して①のような表示があれば、

\displaystyle T^nf_{\lambda} = M\mathbb{E}_{h \in H}\left( \left(c_{\lambda^{-1}n, h}\right)_{\lambda} \left(g_h\right)_{\lambda}\right)

が成り立つ。Aのスケール不変性より

\displaystyle \left\|\left(c_{\lambda^{-1}n, h}\right)_{\lambda}\right\|_A = \left\|c_{\lambda^{-1}n, h}\right\|_A \leq 1,\quad \left\|\left(g_h\right)_{\lambda} \right\|_{L^{\infty}} = \left\|g_h\right\|_{L^{\infty}} \leq 1

なので、f_{\lambda}も一様概周期関数であり、\left\|f_{\lambda}\right\|_{UAP[A]} = \left\|f\right\|_{UAP[A]} が成り立つことがわかる。

\left\| \cdot \right\|_{L^{\infty}} \leq \left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}であることと、\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}の非退化性: \ fを一様概周期関数とするとき、表示①に対して

\left\| c_{0, h}\right\|_{L^{\infty}} \leq \left\| c_{0, h}\right\|_{A} \leq 1

が成り立つので、通常の絶対値に関する三角不等式によって \left\|f\right\|_{L^{\infty}} \leq M が成り立つ。よって、定義より \left\|f\right\|_{L^{\infty}} \leq \left\|f\right\|_{UAP[A]} が成り立つ。非退化性はこの不等式からわかる。

A \subset UAP[A]であることと、\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]} \leq \left\| \cdot \right\|_A: \ 0\neq f \in Aに対して \widehat{f}を

\displaystyle \widehat{f} := \frac{1}{\left\|f\right\|_A}f

によって定義する(非退化性により\left\|f\right\|_A\neq 0)。Aが\mathbb{C}-代数であることから \widehat{f} \in Aであり、\left\| \cdot \right\|_Aの非負性・斉次性より \left\|\widehat{f}\right\|_A=1。また、任意のn \in \mathbb{Z}_Nに対して、Aのシフト不変性によって T^n\widehat{f} = \widehat{T^nf} \in A である。このとき、

\displaystyle T^nf = \left\|f\right\|_A\cdot T^n\widehat{f}, \quad \left\|T^n\widehat{f}\right\|_A=1

なので、H=\{h\}, \ c_{n, h} = T^n\widehat{f}, \ g_h=\mathbf{1}_{\mathbb{Z}_N} に対してfは①の表示を持つ。すなわち、fは一様概周期関数であることが示された。また、この表示は\left\|f\right\|_{UAP[A]} \leq \left\|f\right\|_Aを示している。f = 0, \ f\in UAP[A] \setminus A の場合は明らか。

UAP[A]が加法で閉じており、\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}が三角不等式を満たすこと: 次を示せば十分である:

帰着 \ f, f' \in B^-(UAP[A])とするとき、任意の0 < \theta < 1に対して
(1-\theta)f+\theta f' \in B(UAP[A])
が成り立つ。

理由: 帰着の主張が示されたと仮定する。f, f' \in UAP[A]が f \neq 0, \ f' \neq 0の場合に主張を示せば十分。\widehat{f}, \widehat{f'}は

\left\|\widehat{f}\right\|_{UAP[A]}=\left\|\widehat{f'}\right\|_{UAP[A]}=1

を満たすので、任意の 0 < t < 1に対して

\begin{align} &\frac{t}{\left\|f\right\|_{UAP[A]}+\left\|f'\right\|_{UAP[A]}}(f+f') \\ &= \frac{\left\|f\right\|_{UAP[A]}}{\left\|f\right\|_{UAP[A]}+\left\|f'\right\|_{UAP[A]}}(t\widehat{f})+\frac{\left\|f'\right\|_{UAP[A]}}{\left\|f\right\|_{UAP[A]}+\left\|f'\right\|_{UAP[A]}}(t\widehat{f'}) \in B(UAP[A])\end{align}

である(t\widehat{f}, t\widehat{f'} \in B^-(UAP[A])に注意)。UAP[A]がスカラー倍で閉じていることと、\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}の斉次性から

\displaystyle f+f' \in UAP[A], \quad \left\|f+f'\right\|_{UAP[A]} \leq \frac{1}{t}\left(\left\|f\right\|_{UAP[A]}+\left\|f'\right\|_{UAP[A]}\right)

が成立する。t^{-1} > 1は任意なので、三角不等式

\displaystyle \left\|f+f'\right\|_{UAP[A]} \leq \left\|f\right\|_{UAP[A]}+\left\|f'\right\|_{UAP[A]}

が従う。 帰着の主張の証明: \ f, f' \in B^-(UAP[A])と0 < \theta < 1をとる。このとき、或る空でない有限集合 H, H', (n, h) \in \mathbb{Z}_N \times H毎に c_{n, h} \in B(A), (n, h') \in \mathbb{Z}_N \times H'毎に c_{n, h'}' \in B(A), h \in H毎に有界関数 g_h, h' \in H'毎に有界関数 g_{h'}'が存在して、n \in \mathbb{Z}_N毎に

\displaystyle T^nf = \mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h), \quad T^nf' = \mathbb{E}_{h' \in H'}(c_{n, h'}'g_{h'}') −②

と表示される。更に、或るM < 1が存在して

\displaystyle \left\|g_h\right\|_{L^{\infty}}, \ \left\|g_{h'}'\right\|_{L^{\infty}} \leq M \quad ({}^{\forall}h \in H, {}^{\forall}h' \in H')

とすることができる。理由: 定義から0 \leq M_1, M_2 < 1が存在して、n \in \mathbb{Z}_N毎に

\begin{align} &T^nf = M_1\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h)=\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}M_1g_h), \\ &T^nf' = M_2\mathbb{E}_{h' \in H'}(c_{n, h'}'g_{h'}')=\mathbb{E}_{h' \in H'}(c_{n, h'}'M_2g_{h'}')\end{align}

と書ける。よって、M:=\max\{M_1, M_2\}, M_1g_h \mapsto g_h, \ M_2g_{h'}'\mapsto g_{h'}' とすればよい。

このM < 1をとって、n \in \mathbb{Z}_Nを任意に固定する。また、m_1:=\#H, \ m_2:=\#H', \ d:=\mathrm{gcd}(m_1, m_2), \ l:=\mathrm{lcm}(m_1, m_2)とする。

\displaystyle H_{\ast}:=\underbrace{H\sqcup \cdots \sqcup H}_{m_2/d}, \quad H_{\ast}':=\underbrace{H'\sqcup \cdots \sqcup H'}_{m_1/d}

と有限集合 H_{\ast}, H_{\ast}'を導入すると、\#H_{\ast}=\#H_{\ast}'=lなので、

H_{\ast}=\{h_1, h_2, \dots, h_l\}, \quad H_{\ast}'=\{h_1', h_2', \dots, h_l'\}

と各元に適当に名前をつければ

\begin{align} &\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h) = \frac{1}{l}\Biggl(\underbrace{\sum_{h \in H}c_{n, h}g_h+\cdots +\sum_{h \in H}c_{n, h}g_h}_{m_2/d}\Biggr) = \frac{1}{l}\sum_{i=1}^lc_{n, h_i}g_{h_i},\\ &\mathbb{E}_{h' \in H'}(c_{n, h'}'g_{h'}') = \frac{1}{l}\Biggl(\underbrace{\sum_{h' \in H'}c_{n, h'}'g_{h'}'+\cdots +\sum_{h' \in H'}c_{n, h'}'g_{h'}'}_{m_1/d}\Biggr) = \frac{1}{l}\sum_{i=1}^lc_{n, {h_i'}}'g_{h_i'}'\end{align}

と書ける。よって、

\begin{align} T^n\left( (1-\theta)f+\theta f'\right) &= (1-\theta)\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h)+\theta \mathbb{E}_{h' \in H'}(c_{n, h'}'g_{h'}') \\ &= \frac{1}{l}\sum_{i=1}^l\left( (1-\theta)c_{n, h_i}g_{h_i}+\theta c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'\right)\end{align} −③

を得る。この先、iを固定して、\thetaが有理数であるか無理数であるかによって場合分けする。

\thetaが有理数であるとき. \theta = b/aと書ける(a, bは正整数で、a > b)。このとき、

\displaystyle (1-\theta)c_{n, h_i}g_{h_i}+\theta c_{n, h_i'}'g_{h_i'}' = \frac{\overbrace{c_{n, h_i}g_{h_i}+\cdots +c_{n, h_i}g_{h_i}}^{a-b}+\overbrace{c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'+\cdots + c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'}^{b}}{a} −④

と書けるので、③と④を合わせれば、\#H''=laなる有限集合 H'', (n, h'') \in \mathbb{Z}_N \times H''毎に c_{n, h''}'' \in B(A), h'' \in H''毎に有界関数 g_{h''}''が存在して

\displaystyle T^n\left( (1-\theta)f+\theta f'\right) = \mathbb{E}_{h'' \in H''}(c_{n, h''}''g_{h''}'')

と書けることがわかった(b/aはiに依らないことに注意)。これは、(1-\theta)f+\theta f' \in B(UAP[A])を示している。

\thetaが無理数であるとき. \theta = \frac{b}{a}+\frac{\gamma}{a}と書ける(a, bは正整数で、a > b。 \gammaは0 < \gamma < 1を満たす実数)。\thetaが無理数であることから、aとしてはいくらでも大きいものをとることができる。そこで、\left(1+\frac{2}{a}\right)M \leq 1であるようにとっておく(これはM < 1であることから可能である)。このとき、

{\small \begin{align} & (1-\theta)c_{n, h_i}g_{h_i}+\theta c_{n, h_i'}'g_{h_i'}' \\ &=\frac{\overbrace{c_{n, h_i}g_{h_i}+\cdots +c_{n, h_i}g_{h_i}}^{a-b}+\overbrace{c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'+\cdots + c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'}^{b}-\gamma c_{n, h_i}g_{h_i}+\gamma c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'}{a}\\ &=\frac{1}{a+2}\Bigl\{\overbrace{c_{n, h_i}\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i}+\cdots +c_{n, h_i}\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i}}^{a-b}+\overbrace{c_{n, h_i'}'\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i'}'+\cdots + c_{n, h_i'}'\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i'}'}^{b}\\ &\quad \quad+c_{n, h_i}\left(-\gamma \left(1+\frac{2}{a}\right)\right)g_{h_i}+ c_{n, h_i'}'\left( \gamma \left(1+\frac{2}{a}\right)\right)g_{h_i'}'\Bigr\} \ \text{–⑤}\end{align}}

と書ける。M, \ aの取り方から

\displaystyle \left\|\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i}\right\|_{L^{\infty}}, \ \left\|\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i'}'\right\|_{L^{\infty}}, \ \left\|-\gamma \left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i}\right\|_{L^{\infty}}, \ \left\|\gamma \left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i'}'\right\|_{L^{\infty}} \leq 1

である。これに注意すれば、\thetaが有理数のときと同様に、③と⑤から(1-\theta)f+\theta f' \in B(UAP[A])が従う(\#H''=l(a+2)である)。

UAP[A]が積で閉じており、\left\|\cdot \right\|_{UAP[A]}が積閉性を満たすこと: \ f, \ f' \in B^-(UAP[A])であれば ff' \in B(UAP[A])であることを示せばよい。理由: それが示されたとする。f, \ f' \in UAP[A]がともに0でない場合に主張を示せば十分である。仮定より、任意の0 < t < 1に対して

\displaystyle (t\widehat{f})(t\widehat{f'}) = \frac{t^2}{\left\|f\right\|_{UAP[A]}\left\|f'\right\|_{UAP[A]}}ff' \in B(UAP[A])

であることから、UAP[A]のスカラー倍に対する不変性によって ff' \in UAP[A]であり、\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}の斉次性より

\displaystyle \left\|ff'\right\|_{UAP[A]} \leq \frac{1}{t^2}\left\|f\right\|_{UAP[A]}\left\|f'\right\|_{UAP[A]}

が成立する。t^{-2} > 1は任意だから、積閉性が従う。 f, \ f' \in B^-(UAP[A])であるとし、②の表示を持ったとする。このとき、H'':=H \times H'とし、(h, h') \in H''に対して

\widetilde{c}_{n, (h, h')}:=c_{n, h}c'_{n, h'}, \quad \widetilde{g}_{(h, h')}:=g_hg'_{h'}

とすれば \widetilde{c}_{n, (h, h')} \in B(A) であり、\widetilde{g}_{(h, h')}は有界関数である。そうして、

\displaystyle T^n(ff') = \mathbb{E}_{(h, h') \in H''}\left(\widetilde{c}_{n, (h, h')}\widetilde{g}_{(h, h')}\right)

が成り立つので ff' \in B(UAP[A])が示された。

以上で証明すべき項目は全て達成された。 Q.E.D.

上記命題により、予告していた一様概周期性ノルム族

\left\|f\right\|_{UAP^0} \geq \left\|f\right\|_{UAP^1} \geq \cdots \geq \left\|f\right\|_{UAP^{k-2}} \geq \cdots \geq \left\|f\right\|_{L^{\infty}}

が次の定義から定まります：

定義５ (一様概周期関数空間) UAP^0を\left\| \cdot \right\|_{L^{\infty}}をノルムとする定数関数全体のなすシフト不変かつスケール不変な\mathbb{Z}_N上の関数達のなすBanach代数*2とする。d \geq 1に対してはシフト不変かつスケール不変な\mathbb{Z}_N上の関数達のなすBanach代数(UAP^d, \left\| \cdot \right\|_{UAP^d})を、帰納的に
\displaystyle UAP^d := UAP[UAP^{d-1}], \quad \left\|\cdot \right\|_{UAP^d}:=\left\|\cdot \right\|_{UAP[UAP^{d-1}]}
と定義する(命題に基づく)。

Szemerédiの定理の証明には使わないですが、例を一つ見ておきましょう。

一様概周期関数の例 (Example 5.7) dを非負整数、Jを正整数とする。絶対値が1以下の複素数c_j及び次数がd以下の\mathbb{Z}_N係数の多項式P_j(x)を用いて
\displaystyle f(x) = \frac{1}{J}\sum_{j=1}^Jc_je\left(\frac{P_j(x)}{N}\right)
と表される関数 f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) は B(UAP^d) の元である。ここで、e(y):=e^{2\pi\sqrt{-1}y}。

証明. dに関する帰納法で証明する。d=0のときは f は絶対値が1以下の定数関数なので、確かにB(UAP^0)の元である。d-1のときに成立すると仮定する。[J]:=\{1, 2, \dots, J\}とし、n \in \mathbb{Z}_N, \ j \in [J]に対して

\displaystyle c_{n, j}:=e\left( \frac{P_j(x+n)-P_j(x)}{N}\right), \quad g_j:=c_je\left( \frac{P_j(x)}{N}\right)

とすれば、P_j(x+n)-P_j(x)の次数がd-1以下であることから帰納法の仮定により c_{n, j} \in B(UAP^{d-1}) であり、g_jは有界関数である。よって、

\displaystyle T^nf = \mathbb{E}_{j \in [J]}\left(c_{n, j}g_j\right)

という表示を持つことから f \in B(UAP^d) であることが示された。 Q.E.D.

Szemerédiの定理の証明には不要なので証明しませんが、実は集合としては d \geq 1に対して

\displaystyle UAP^d=\mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})

が成り立っています。

追記) カナンさんのセミナーに出てわかったこと: 命題について、加法で閉じていることの証明で有理数と無理数に分けている部分は\gamma=0も含めれば場合分けの必要がない。また、積で閉じていることの証明は帰着しなくとも直接簡明に示すことができる。

付録 有限次元ノルム空間の完備性

補題 Vを有限次元\mathbb{C}-ノルム空間とする。このとき、Vは完備である。

証明. VをJ次元とし、\{v_j\}_{j=1}^{J}をVの基底とする。VのCauchy列\{x_n\}_{n=1}^{\infty}をとる。x_nは

\displaystyle x_n = \sum_{j=1}^J\alpha_j^{(n)}v_j, \quad (\alpha_j^{(n)} \in \mathbb{C})

と表示できる。双対基底\{v_j^{\ast}\}をとると

\displaystyle \left|\alpha_j^{(n)}-\alpha_j^{(m)}\right| = \left|v_j^{\ast}(x_n-x_m)\right| \leq \left\|x_n-x_m\right\|\cdot \left\|v_j^{\ast}\right\|_{V^{\ast}}

と評価できるので \{\alpha_j^{(n)}\}_{n=1}^{\infty}はCauchy列であることがわかる。従って、

\displaystyle \alpha_j := \lim_{n \to \infty}\alpha_j^{(n)} \in \mathbb{C}

が存在し、\displaystyle x:=\sum_{j=1}^J\alpha_jv_j \in Vとすれば三角不等式から

\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n = x

が従う。すなわち、Vは完備である。 Q.E.D.

*1:ad hocな用語であることに注意。完備性を課さないかわりに若干の性質を追加している。とは言っても\mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})は有限次元なので実際には完備である(付録参照)。係数体は\mathbb{F}_Nではなく\mathbb{C}であることに注意。

*2:これが\mathbb{Z}_N上の関数達のなすBanach代数をなすことの確認は容易。定数でない関数についてのUAP^0-ノルムはL^{\infty}-ノルムではなく無限大であることに注意。

タオのセメレディ論文の§4を読む

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

§4 Uniformity norms, and the generalized von Neumann theorem ではGowers一様性ノルムを定義して一般化von Neumann定理(Thm 3.1)を証明します。

van der Corputの補題 任意の関数 f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) に対して
\displaystyle \Bigg| \int_{\mathbb{Z}_N}f\Bigg|^2 = \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\overline{f}T^hf\right)
が成り立つ。

証明. 左辺は

\displaystyle \mathbb{E}_{x, y \in \mathbb{Z}_N}(\overline{f(x)}f(y))

であり、右辺は

\displaystyle \mathbb{E}_{x, h \in \mathbb{Z}_N}(\overline{f(x)}f(x+h))

なので、x+h \mapsto yとすることにより両者が一致することがわかる。 Q.E.D.

Gowers一様性ノルムの定義 (Definition 4.2.)
関数 f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) に対してd-Gowers一様性ノルム\left\|f\right\|_{U^d}を次のようにして帰納的に定める：

  1. \displaystyle \left\|f\right\|_{U^0} := \int_{\mathbb{Z}_N}f,
  2. \displaystyle \left\|f\right\|_{U^d} := \left( \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N} \left( \left\|\overline{f}T^hf\right\|_{U^{d-1}}^{2^{d-1}} \right) \right)^{\frac{1}{2^d}}.

\left\|f\right\|_{U^1}は次のような明示的表示を持ちます：

基本性質１ (Example 4.3) \ \ \ \displaystyle \left\|f\right\|_{U^1}=\left| \int_{\mathbb{Z}_N}f \right|.

証明. 定義式とvan der Corputの補題より

\displaystyle \left\|f\right\|_{U^1} = \sqrt{\mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\| \overline{f}T^hf \right\|_{U^0} \right)} = \sqrt{\mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\overline{f}T^hf \right)} = \left| \int_{\mathbb{Z}_N}f \right|

と計算できる。 Q.E.D.

よって、d \geq 1ならばd-Gowers一様性ノルムは非負値を取ることがわかります。

基本性質２ (Remark 4.4) d \geq 1に対して \left\|f\right\|_{U^d} \leq \left\|f\right\|_{U^{d+1}} が成り立つ ( fが実数値ならd \geq 0)。

証明. dに関する帰納法で証明する。d-1のときに成立すると仮定すると

\displaystyle \left\|f\right\|_{U^d} = \left( \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N} \left( \left\|\overline{f}T^hf\right\|_{U^{d-1}}^{2^{d-1}} \right) \right)^{\frac{1}{2^d}} \leq \left( \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N} \left( \left\|\overline{f}T^hf\right\|_{U^{d}}^{2^{d-1}} \right) \right)^{\frac{1}{2^d}} −①

なので、示すべきことは

\displaystyle \left( \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N} \left( \left\|\overline{f}T^hf\right\|_{U^{d}}^{2^{d-1}} \right) \right)^2 \leq \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N} \left( \left\|\overline{f}T^hf\right\|_{U^{d}}^{2^{d}} \right)

である。これはCauchy-Schwarzの不等式から従う。d=1のときも基本事項１より1-Gowers一様性ノルムは非負値なので、三角不等式によって①が成立している。 Q.E.D.

注意: \left\| \cdot \right\|_{U^d}はd \geq 2のときに実際にノルム性質を満たすことが知られています。あとで使う非退化性

\left\|f\right\|_{U^d} = 0 \Longleftrightarrow f=0


のみ示しておきます。

証明. 基本性質２によって、d=2のときに示せば十分。\left\|f\right\|_{U^2}=0と仮定すると、定義と基本性質１によって任意のh \in \mathbb{Z}_Nに対して

\displaystyle \left\|\overline{f}T^hf\right\|_{U^1} = \left| \int_{\mathbb{Z}_N}\overline{f}T^hf\right| = 0

である。特に、h=0の場合を考えることによって

\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\overline{f}f = \int_{\mathbb{Z}_N}\left|f\right|^2=0

であり、これは f=0を示している。 Q.E.D.

基本性質３ (Example 4.5) d \geq 1に対して \left\|f\right\|_{U^d} \leq \left\|f\right\|_{L^{\infty}} が成り立つ ( fが実数値ならd \geq 0)。

証明. dに関する帰納法で示す。基本性質１と三角不等式により

\displaystyle \left\|f\right\|_{U^1} \leq \int_{\mathbb{Z}_N}\left|f\right| \leq \sup_{x \in \mathbb{Z}_N}\left|f(x) \right|=\left\|f\right\|_{L^{\infty}}

とd=1の場合に成立することがわかる。d-1で成立すると仮定すると、

\displaystyle \left\|f\right\|_{U^d} \leq \left( \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|\overline{f}T^hf\right\|_{L^{\infty}}^{2^{d-1}}\right)\right)^{\frac{1}{2^d}} \leq \left( \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|f\right\|_{L^{\infty}}^{2^{d}}\right)\right)^{\frac{1}{2^d}} = \left\|f\right\|_{L^{\infty}}

とdのときも成立することがわかる。 Q.E.D.

よって、fが有界であれば \left\|f\right\|_{U^d} \leq 1 であることがわかります。

基本性質４ (シフト不変性) 任意の n \in \mathbb{Z}_N, d \geq 0 に対して \left\|T^nf\right\|_{U^d} = \left\|f \right\|_{U^d} が成り立つ。

証明. d=0の場合は積分のシフト不変性より従う。一般の場合は

\displaystyle \overline{T^nf}T^hT^nf = T^n\left( \overline{f}T^hf\right)

に注意して帰納法。 Q.E.D.

基本性質５ (複素共役不変性) d \geq 1であれば、\left\|\overline{f}\right\|_{U^d}=\left\|f\right\|_{U^d} が成立する。

証明. d=1のときは基本性質１より成立することがわかる。一般の場合は帰納法。 Q.E.D.

基本性質６ (スケール不変性) 関数 f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) と \lambda \in \mathbb{Z}_N \setminus \{0\} に対して f_{\lambda} \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) を f_{\lambda}(x):=f(x/\lambda) で定義する。このとき、\left\|f_{\lambda}\right\|_{U^d} = \left\|f\right\|_{U^d} が任意の d \geq 0 に対して成立する。

Nが素数なので、\lambdaの逆元が存在することに注意します。

証明. 基本的には\mathbb{Z}_Nにおける\lambda^{-1}倍写像が全単射であることから従うが、帰納法のステップにおいて

\displaystyle \overline{f_{\lambda}}T^hf_{\lambda}(x) = \overline{f\left( \frac{x}{\lambda} \right)} f\left( \frac{x+h}{\lambda} \right) = \overline{f\left( \frac{x}{\lambda}\right)}f\left( \frac{x}{\lambda}+\lambda^{-1}h\right) = \left( \overline{f}T^{\lambda^{-1}h}f\right)_{\lambda}(x)

が成り立つことを使う。 Q.E.D.

補題 \lambda_0, \lambda_1 \in \mathbb{Z}_Nは相異なる元であるとする。このとき、写像
\begin{align}&\mathbb{Z}_N^2 \longrightarrow \mathbb{Z}_N^2 \\ &(x, r)\mapsto (x+\lambda_0r, x+\lambda_1r)\end{align}
は全単射である。

証明. 任意の(y, s) \in \mathbb{Z}_N^2に対して連立方程式 x+\lambda_0r=y, x+\lambda_1r=sが解(x, r) \in \mathbb{Z}_N^2を一意的に持てばよい。これは、\left(\begin{smallmatrix} 1 & \lambda_0 \\ 1 & \lambda_1\end{smallmatrix}\right)の行列式 \lambda_1-\lambda_0が0でないことからわかる。 Q.E.D.

それでは一般化von Neumann定理を証明しましょう。

(再掲) 一般化von Neumann定理 (Theorem 3.1) k\geq 2を整数、\lambda_0, \dots, \lambda_{k-1}を相異なる\mathbb{Z}_Nの元とする。このとき、任意の有界関数 f_0, \dots, f_{k-1}\colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{C}に対して
\displaystyle \left| \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N} \left( \int_{\mathbb{Z}_N} \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda_jr}f_j \right) \right| \leq \min_{0 \leq j \leq k-1}\left\|f_j\right\|_{U^{k-1}}
が成り立つ。

証明. kに関する帰納法で証明する。k=2の場合、補題より

\begin{align} \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}T^{\lambda_0 r}f_0T^{\lambda_1r}f_1\right) &= \mathbb{E}_{(x, r) \in \mathbb{Z}_N^2}\left(f_0(x+\lambda_0r)f_1(x+\lambda_1r)\right) \\ &= \mathbb{E}_{(x, r) \in \mathbb{Z}_N^2}\left( f_0(x)f_1(r)\right) = \left( \int_{\mathbb{Z}_N}f_0\right) \times \left( \int_{\mathbb{Z}_N}f_1 \right) \end{align}

なので、基本事項１より

\displaystyle \left| \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}T^{\lambda_0r}f_0T^{\lambda_1r}f_1 \right) \right| = \left\|f_0\right\|_{U^1}\times \left\|f_1\right\|_{U^1} \leq \min\left\{\left\|f_0\right\|_{U^1}, \left\|f_1\right\|_{U^1}\right\}

を得る(最後の不等号には f_0, f_1が有界であることを用いる)。これでk=2の場合に示されたので、k > 2としてk-1で成立すると仮定する。番号を適当に入れ替えることにより

\displaystyle \min_{0 \leq j \leq k-1}\left\|f_j\right\|_{U^{k-1}}=\left\|f_0\right\|_{U^{k-1}}

であると仮定してよい。積分のシフト不変性とシフト作用素の基本性質によりT^{-\lambda_{k-1}r}を考えることによって\lambda_{k-1}=0と仮定しても一般性を失わない。このとき、\lambda_0\neq 0であり、\mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}の足す順番を全単射 \times \lambda_0^{-1} \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{Z}_N で入れ替えることによって \lambda_0=1 であると仮定してもよい(入れ替えた際、\lambda_0^{-1}\lambda_1\mapsto \lambda_1, \dots, \lambda_0^{-1}\lambda_{k-2}\mapsto \lambda_{k-2}と置き換えれば仮定はちゃんと満たされている)。よって、示すべきことは

\displaystyle \left| \int_{\mathbb{Z}_N}f_{k-1}\mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left(\prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}f_j\right)\right| \leq \left\|f_0\right\|_{U^{k-1}}

である。ここで、和の順序を入れ替えてf_{k-1}でくくっていることに注意。期待値はx\in \mathbb{Z}_N毎に計算される*1。更に、Cauchy-Schwarzの不等式より

\displaystyle \left|\int_{\mathbb{Z}_N}f_{k-1}\mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left(\prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}f_j\right)\right|^2 \leq \int_{\mathbb{Z}_N}\left|f_{k-1}\mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left(\prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}f_j\right)\right|^2

なので、f_{k-1}の有界性より結局

\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left| \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left( \prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}f_j\right)\right|^2 \leq \left\|f_0\right\|^2_{U^{k-1}} −②

を示せばよい。x \in \mathbb{Z}_Nを固定するとき、van der Corputの補題(変数r\in \mathbb{Z}_Nに対して適用)とシフト作用素の基本性質より

\begin{align}\left| \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left( \prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}f_j(x)\right)\right|^2 &= \mathbb{E}_{h, r \in \mathbb{Z}_N} \Biggl(\Biggl( \overline{\prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}f_j(x)} \Biggr)T^h\left(\prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}f_j(x)\right) \Biggr) \\ &= \mathbb{E}_{h, r \in \mathbb{Z}_N} \left(\left( \prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}\overline{f_j}(x) \right)\left(\prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_j(r+h)}f_j(x)\right) \right)\\ &= \mathbb{E}_{h, r \in \mathbb{Z}_N}\left( \prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}(\overline{f_j}T^{\lambda_jh}f_j(x))\right)\end{align}

と計算できるので、和の入れ替えにより

\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left| \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left( \prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}f_j\right)\right|^2= \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left(\mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}(\overline{f_j}T^{\lambda_jh}f_j)\right)\right)

を得る。h \in \mathbb{Z}_N, j=0, \dots, k-2に対して\overline{f_j}T^{\lambda_jh}f_jは有界なので、帰納法の仮定により

\displaystyle \left| \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}(\overline{f_j}T^{\lambda_jh}f_j)\right) \right| \leq \left\|\overline{f_0}T^hf_0 \right\|_{U^{k-2}}

が任意のh \in \mathbb{Z}_Nに対して成立する(\lambda_0=1であった)。従って、三角不等式より

\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left| \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left( \prod_{j=0}^{k-2}T^{\lambda_jr}f_j\right)\right|^2 \leq \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|\overline{f_0}T^hf_0\right\|_{U^{k-2}} \right)

となり、Gowers一様性ノルムの定義によって②は

\displaystyle \left( \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|\overline{f_0}T^hf_0\right\|_{U^{k-2}} \right) \right)^{2^{k-2}} \leq \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|\overline{f_0}T^hf_0\right\|_{U^{k-2}}^{2^{k-2}} \right)

に帰着される。これはHölderの不等式*2の特殊なケースに他ならない(或いはCauchy-Schwarzの不等式の繰り返し)。 Q.E.D.

*1:f_{k-1}でくくるための作業。今後、点毎に期待値を返す関数としての表記を断りなく使う。

*2:よく知られたHölderの不等式より、fが非負値でq > 0であれば、適当な有限集合X上で

\mathbb{E}_X(f^q) \geq \left( \mathbb{E}_X(f)\right)^q
が成り立つ。

タオのセメレディ論文の§3を読む

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

§3 Overview of proof では証明のスキーム

  • 或るAという対象がある。
  • Aには或るランダム性と構造という概念を定義することができる。
  • Aを(構造化部分)+(誤差項)に分ける構造定理を示す。誤差項はランダムな部分。
  • 誤差項を取り除く一般化von Neumann定理及び構造化部分に関する構造化回帰定理を証明する*1。

に従って、主定理(Theorem 2.4)を三つの定理(Thm 3.1, Thm 3.3, Thm 3.5)に分離します。

ランダム性と構造

非負値有界関数 f \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+のランダム性と構造は二種類のノルムの族によって定めます*2。

Gowers一様性ノルム族 (ランダム性を定めるノルム族. §4で定義される)

\left\|f\right\|_{U^0} \leq \left\|f\right\|_{U^1} \leq \cdots \leq \left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq \cdots \leq \left\|f\right\|_{L^{\infty}}


一様概周期性ノルム族 (構造を定めるノルム族. §5で定義される)

\left\|f\right\|_{UAP^0} \geq \left\|f\right\|_{UAP^1} \geq \cdots \geq \left\|f\right\|_{UAP^{k-2}} \geq \cdots \geq \left\|f\right\|_{L^{\infty}}

三つの定理

最初の定理はGowers一様性ノルムが小さい部分は無視できることを主張するものです：

一般化von Neumann定理 (Theorem 3.1) k\geq 2を整数、\lambda_0, \dots, \lambda_{k-1}を相異なる\mathbb{Z}_Nの元とする。このとき、任意の有界関数 f_0, \dots, f_{k-1}\colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{C}に対して
\displaystyle \left| \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N} \left( \int_{\mathbb{Z}_N} \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda_jr}f_j \right) \right| \leq \min_{0 \leq j \leq k-1}\left\|f_j\right\|_{U^{k-1}}
が成り立つ。

次の定理は構造化回帰定理です：

一様概周期関数の回帰性 (Theorem 3.3) d \geq 0, k\geq 1を整数とする。非負値有界関数 f_{U^{\perp}}, f_{UAP}は或る 0 < \delta \leq 1, \ M > 0に対して
1. \displaystyle \ \left\| f_{U^{\perp}}-f_{UAP} \right\|_{L^2} \leq \frac{\delta^2}{1024k},\quad 2. \displaystyle \ \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}} \geq \delta,\quad 3. \displaystyle \ \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} < M
を満たすと仮定する。このとき、任意の\mu \in \mathbb{Z}_N及び正整数N_1に対して
\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{d, k, \delta, M} 1
が成り立つ。

この定理の証明が一番難しい部分で、Furstenberg等の議論とvan der Waerdenの定理を使います。\mu, N_1は帰納法を回すためのパラメータで\mu = 1, N_1=N-1として適用します。

最後に構造定理です*3：

構造定理 (Theorem 3.5) k \geq 3を整数とし、非負値有界関数 f\colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+は或る0 < \delta \leq 1に対して
\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f \geq \delta
を満たすと仮定する。更に F \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+を任意の関数とする。このとき、或る正の数M=O_{k, \delta, F}(1), \ 有界関数 f_U \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{C}, \  非負値有界関数 f_{U^{\perp}}, \ f_{UAP} \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+が存在して
1. \ f=f_U+f_{U^{\perp}},\quad 2. Thm 3.3の条件1. 2. 3. がd=k-2で成立,\quad 3. \displaystyle \ \left\|f_U\right\|_{U^{k-1}} \leq \frac{1}{F(M)}
が成り立つ。

この定理はFurstenbergの構造定理とSzemerédi正則化補題のハイブリッドになっているとのことです。それでは、主定理をこれら三つの定理に帰着しましょう。

(再掲) 主定理 (定量的回帰定理, Theorem 2.4) k \geq 3を任意の整数、\deltaを0 < \delta \leq 1を満たす任意の整数とする。このとき、次が成立する： 条件
\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f \geq \delta
を満たす任意の非負値有界関数 f \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+に対して
\displaystyle \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f \right) \gg_{k, \delta} 1
が成り立つ。

Thm 3.1, Thm 3.3, Thm 3.5 \Longrightarrow Thm 2.4の証明

k, \delta, fをThm 2.4のものとする。また、d=k-2のときにThm 3.3の結論の不等式の左辺が正定数c(k, \delta, M)で下から押さえられているものとする。F \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+として任意のM > 0に対して

\displaystyle F(M) > \frac{2^k-1}{c(k, \delta, M)}

を満たすものを一つ選ぶ*4。この設定に対してThm 3.5で存在するM=O_{k, \delta}(1), \ f_U, \ f_{U^{\perp}}, \ f_{UAP}を取る*5。このとき、

\begin{align} \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f \right) &= \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}(f_U+f_{U^{\perp}}) \right) \\ &= \sum_{(f_0, \dots, f_{k-1}) \in \{f_U, f_{U^{\perp}}\}^k}\mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_j \right)\end{align}

と展開できる。最後の和の f_0=\cdots = f_{k-1} = f_{U^{\perp}}なる項はThm 3.3の\mu=1, N_1=N-1の場合によって下からc(k, \delta, M)でおさえられる。

残りの2^k-1項についてはそれぞれ少なくとも一つf_Uを含むので、Thm 3.1よりどの項も絶対値が1/F(M)で上から押さえらえる。すなわち、

\displaystyle \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f \right) \geq c(k, \delta, M)-\frac{2^k-1}{F(M)},\quad \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f \right) \gg_{k, \delta, M} 1

が示された(Fの取り方に注意)。M=O_{k, \delta}(1)なので、結局

\displaystyle \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f \right) \gg_{k, \delta} 1,

すなわち、Thm 2.4が示された。 Q.E.D.

*1:von Neumannの平均エルゴード定理とPoincaréの回帰定理を意識した名称です。

*2:ノルム自体は fが複素数値であっても定義されます

*3:§3ではThm 3.3の後にThm 3.5が書かれていますが、実際に証明する順番はThm 3.5 → Thm 3.3です。

*4:Fは大きければ大きいほど定量的観点では結果が良くなる。

*5:M=O_{k, \delta, F}(1)であるが、ここの議論においては既にFを固定しているのでM=O_{k, \delta}(1)と取れることに注意。