1093, 3511：ヴィーフェリッヒ素数

$K$ を数体、 $\alpha \in K^{\times}$ 、 $\mathfrak{p}$ を $(\alpha, \mathfrak{p})=1$ なる有限素点とするとき、Fermatの小定理によって

$\alpha^{N(\mathfrak{p})-1} \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}}$

が成り立ちます（ $N(\mathfrak{p})$ はノルム）。それでは、 $\alpha$ を $1$ のべき根ではないと仮定して

$\displaystyle \alpha^{N(\mathfrak{p})-1} \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p^2}}$ －①

が成り立つ $\mathfrak{p}$ はどのくらいあるでしょうか？

$\displaystyle q_{\mathfrak{p}}(\alpha):=\frac{\alpha^{N(\mathfrak{p})-1}-1}{\mathfrak{p}} \in \mathcal{O}_{K, \mathfrak{p}}$

のことをFermat商と呼びます（ $\mathcal{O}_{K, \mathfrak{p}}$ は $K$ の整数環の $\mathfrak{p}$ による局所化）。

Wieferich素数

$K=\mathbb{Q}, \ \alpha = 2, \dots, 25$ の場合に合同式①が成り立つことが分かっている素数は以下のようになっています：

$2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=1093, 3511$
$3^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=11, 1006003$
$4^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=1093, 3511$
$5^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337,$
$188748146801$
$6^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=66161, 534851, 3152573$
$7^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=5, 491531$
$8^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=3, 1093, 3511$
$9^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=2, 11, 1006003$
$10^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=3, 487, 56598313$
$11^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=71$
$12^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=2693, 123653$
$13^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=2, 863, 1747591$
$14^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=29, 353, 7596952219$
$15^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=29131, 119327070011$
$16^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=1093, 3511$
$17^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=2, 3, 46021, 48947$
$18^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=5, 7, 37, 331, 33923, 1284043$
$19^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=3, 7, 13, 43, 137, 63061489$
$20^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=281, 46457, 9377747, 122959073$
$21^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=2$
$22^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159$
$23^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329$
$24^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=5, 25633$
$25^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}: p=2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801$