714, 715：Ruth–Aaronペア

1974年4月8日にBabe Ruthのホームラン714本という記録を塗り替える715本目のホームランをHank Aaronが打ちました。

この $714$ と $715$ はとても面白い性質をもつ数です。

$714\times 715 = 510510=2\times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17$

このような性質を持つペアは少ないです(他には $(1, 2), (2, 3), (5, 6), (14, 15)$ がある)。

[NPP]では次のような予想を立てていますが、現在でも未解決であるかまだ調査できていません。

予想連続する自然数のペアであって、その積が最初の連続するいくつかの素数の積（素数階乗）となるもののうち最大のものは $(714, 715)$ であろう。

また、 $714$ と $715$ の素因数分解はそれぞれ

$714 = 2 \times 3 \times 7 \times 17,\quad 715=5\times 11 \times 13$

ですが、各素因数の和が一致します！！

$2+3+7+17=5+11+13=29$

このような幸運なペアのことを、Ruth-Aaronペアと呼びます。次は未解決です。

未解決問題 Ruth-Aaronペアは無数に存在するか？

$(5, 6), (24, 25), (49, 50), (77, 78), (104, 105), (153, 154), (369, 370), (492, 493), (714, 715),$
$(1682, 1683), (2107, 2108)$

などはRuth-Aaronペアです。確かめてみましょう！

冪の分も足し合わせる場合は( $8=2^3, 9=3^2; 2+2+2=3+3$ )、小さい方から

$(5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331)$

となります。

[NPP] C. Nelson, D.E. Penney, and C. Pomerance, $714$ and $715$ , J. Rec. Math. 7 (1974), 87–89.

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