2017, e, π, Khinchin定数

$2017$ は素数ですが、昨夜面白い性質があることに気づきました。

$e$ の場合

$2017$ に $e$ をかけます。

$2017e=5482.774448001894239721699829718320257976367387992818462\dots$

この数に一番近い整数 $5483$ は素数です。

このような性質をもつ $10000$ 以下の素数( $pe$ に一番近い整数が素数となるような素数 $p$ )は

$\begin{align}&2, 7, 29, 37, 71, 113, 163, 179, 199, 227, 283, 439, 463, 503, 541, 547, 647, 733, 761, \\ &823, 839, 887, 953, 1031, 1049, 1051, 1093, 1327, 1399, 1549, 1627, 1741, 1847,\\ &1861, 1901, 1951, 2017, 2053, 2081, 2179, 2221, 2287, 2309, 2399, 2477, 2591, \\ &2689, 2711, 2741, 2777, 2797, 2909, 3137, 3167, 3181, 3187, 3203, 3251, 3329, \\ &3413, 3457, 3463, 3499, 3527, 3593, 3761, 3797, 3847, 3863, 3911, 3947, 4139,\\ &4211, 4337, 4373, 4507, 4649, 4657, 4673, 4871, 5039, 5309, 5381, 5437, 5573,\\ &5651, 5657, 5659, 5701, 5821, 5927, 6043, 6211, 6247, 6269, 6361, 6397, 6551,\\ &6637, 6737, 6779, 6781, 6959, 7001, 7057, 7127, 7129, 7193, 7247, 7417, 7489,\\ &7673, 7681, 7703, 7853, 7873, 7907, 7951, 7993, 8293, 8447, 8597, 8741, 8803,\\ &8867, 9209, 9257, 9293, 9323, 9341, 9419, 9421, 9491, 9533, 9547, 9661, 9749,\\ &9803, 9811, 9833\end{align}$

です。このような幸運な年は私が生まれてからだと $2017$ 年が初めてであることが分かります。次は $2053$ 年ですね。

$\pi$ の場合

$2017$ に $\pi$ をかけます。

$2017\pi=6336.592382290612961979151704074757317425690678539588440\dots$

この数に一番近い整数 $6337$ は素数です。

このような性質をもつ $10000$ 以下の素数( $p\pi$ に一番近い整数が素数となるような素数 $p$ )は

$\begin{align}&13, 17, 31, 53, 71, 73, 101, 181, 197, 223, 229, 239, 241, 281, 311, 313, 353, 367, 491,\\ &521, 607, 821, 859, 863, 919, 1129, 1217, 1303, 1381, 1427, 1471, 1583, 1667, 1721,\\ &1723, 1753, 1811, 1877, 1879, 1933, 1979, 2017, 2063, 2089, 2221, 2399, 2441, 2447,\\ &2531, 2659, 2683, 2729, 2767, 2953, 3023, 3109, 3167, 3319, 3361, 3373, 3529, 3613,\\ &3929, 4139, 4211, 4297, 4507, 4519, 4591, 4603, 4691, 4721, 4733, 4759, 4799, 4801,\\ &4861, 4889, 4933, 4987, 5113, 5153, 5227, 5237, 5351, 5393, 5407, 5441, 5477, 5563,\\ &5749, 5821, 5861, 6073, 6133, 6217, 6287, 6343, 6373, 6469, 6599, 6679, 6763, 6793,\\ &6833, 7019, 7219, 7559, 7853, 7907, 7951, 7993, 8161, 8167, 8191, 8293, 8377, 8419,\\ &8543, 8627, 8629, 8699, 8831, 8887, 8929, 8971, 9001, 9011, 9041, 9043, 9181, 9311,\\ &9337, 9461, 9467, 9649, 9721, 9733, 9817, 9929, 9941\end{align}$

です。なんと $e$ の場合と同じく $141$ 個あります！！このような幸運な年は私が生まれてからだと $2017$ 年が初めてであることが分かります。この前は $1979$ 年でApéryとBeukersの論文が出た年*1ですね。次は $2063$ 年です。

Khinchin定数の場合

Khinchin定数という有名な数をご存知でしょうか？これはKhinchinが示した次の驚くべき定理に付随して定まる定数です：

Khinchin (1934) 測度 $0$ の例外を除く殆ど全ての実数 $x$ に対して、その正則連分数から得られる数列の相乗平均の極限値は $x$ に依らない定数 $K_0$ に収束する。

$x$ を無理数とすると一意的に

$x=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{\ddots+\cfrac{1}{a_n+\frac{1}{\ddots}}}}}$

と正則連分数展開されますが、

$g_n(x):=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$

とすると、殆ど全ての $x$ に対して

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}g_n(x)$

は $x$ に依らないある定数 $K_0$ に収束すると言うのです！この $K_0$ をKhinchin定数といい、

$K_0=2.685452001065306445309714835481795693820382293994462\dots$

であり、Riemannゼータ値を使って

$\displaystyle \log K_0 = \frac{1}{\log 2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{n}\sum_{k=1}^{2n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$

と書けることなどが知られています。面白いこととして、このような定理が証明されているにも関わらず、実際に $g_n(x)$ が $K_0$ に収束することが示されているような $x$ の実例は一つも知られていません。

さて、 $2017$ にKhinchin定数 $K_0$ を掛けてみましょう：

$2017K_0=5416.556686148723100189694823166781914435711086986831776\dots$

この数に一番近い整数 $5417$ は素数です。

このような性質をもつ $10000$ 以下の素数( $pK_0$ に一番近い整数が素数となるような素数 $p$ )は

$\begin{align}&2, 5, 7, 31, 71, 83, 89, 101, 103, 109, 139, 223, 241, 293, 349, 433, 491, 509, 521, 541, \\ &599, 617, 641, 719, 751, 787, 827, 883, 947, 997, 1213, 1291, 1303, 1321, 1367, 1381, \\ &1423, 1531, 1571, 1597, 1747, 1787, 2017, 2027, 2029, 2111, 2129, 2207, 2237, 2341,\\ &2371, 2417, 2447, 2543, 2621, 2663, 2753, 2887, 3001, 3079, 3257, 3593, 3637, 3727, \\ &3847, 3943, 4127, 4259, 4261, 4357, 4363, 4373, 4451, 4457, 4513, 4547, 4591, 4621, \\ &4801, 4831, 4909, 4967, 5009, 5011, 5099, 5279, 5449, 5519, 5557, 5563, 5641, 5749, \\ &5791, 5861, 5869, 6287, 6301, 6359, 6473, 6491, 6803, 6841, 6949, 7127, 7177, 7331, \\ &7433, 7529, 7681, 7853, 7873, 7883, 7949, 8017, 8081, 8171, 8191, 8233, 8329, 8513, \\ &8597, 8627, 8629, 8731, 8863, 8971, 9029, 9091, 9187, 9221, 9257, 9391, 9437, 9467, \\ &9473, 9511, 9697, 9791, 9811, 9931\end{align}$

の $140$ 個です。このような幸運な年は私が生まれてからだと $2017$ 年が初めてであることが分かります。次は $2027$ 年です。

ちなみに10万以下の個数は

$e$	840個
$\pi$	883個
$K_0$	840個

で何故か $e$ と $K_0$ に対する個数が一致しています。

$e, \pi, K_0$ 全てに対してこのような性質をもつ素数

同じような数列は他の色々な無理数*2でも考えることができますが、 $2017$ は $e$ , $\pi$ , $K_0$ という三つの重要定数に対して共通して同じ面白い性質をもつのです。このような素数は $10000$ 以下だと $71$ , $2017$ , $7853$ の三つしかありません。特に、今地球に生きている全ての人間にとって、生きている間にこのような性質をもつ年を過ごすことができるのは $2017$ 年のみとなります。