合成数を小さい順に足して出来るような冪乗数

オンライン整数列大辞典A227249とA053768とA053769を紹介します。

数列 $a(n)$ (A227249)は

「最初の $m$ 個の合成数の総和が冪乗数となる正整数 $m$ のうち $n$ 番目のもの」

と定義されます。

$\begin{align}a(1)&= 1\\ a(2) &= 4\\ a(3) &= 6\\ a(4) &= 21\\ a(5) &= 80\\ a(6) &= 4151\\ a(7) &= 6982\\ a(8) &= 269563\\ a(9) &= 779693\\ a(10) &= 834365\\ a(11) &= 16176645\\ a(12) &= 19770092\\ a(13) &= 41049539\\ a(14) &= 228612936\\ a(15) &= 1950787140\\ a(16) &= 2404785364\\ a(17) &= 3095996836\\ a(18) &= 5236785750\end{align}$

$\ 4=2^2$

$\ 4+6+8+9=27=3^3$

$\ 4+6+8+9+10+12=49=7^2$

$\begin{align}&4+6+8+9+10+12+14+15+16+18+20+21+22+24+25+26\\ &+27+28+30+32+33= 400=20^2\end{align}$

$\begin{align}&4+6+8+9+10+12+14+15+16+18+20+21+22+24+25+26\\ &+27+28+30+32+33+34+35+36+38+39+40+42+44+45+46\\ &+48+49+50+51+52+54+55+56+57+58+60+62+63+64+65\\ &+66+68+69+70+72+74+75+76+77+78+80+81+82+84+85\\ &+86+87+88+90+91+92+93+94+95+96+98+99+100+102\\ &+104+105+106+108+110=4624=68^2\end{align}$

のようになっています。

数列 $b(n)$ (A053768)は

「最初の $m$ 個の合成数の総和が平方数となる正整数 $m$ のうち $n$ 番目のもの」

と定義されます。

$\begin{align}b(1)&= 1\\ b(2) &= 6\\ b(3) &= 21\\ b(4) &= 80\\ b(5) &= 6982\\ b(6) &= 269563\\ b(7) &= 779693\\ b(8) &= 834365\\ b(9) &= 16176645\\ b(10) &= 19770092\\ b(11) &= 41049539\\ b(12) &= 228612936\\ b(13) &= 1950787140\\ b(14) &= 2404785364\\ b(15) &= 3095996836\\ b(16) &= 5236785750\\ b(17) &= 12482382942\end{align}$

$b(n)$ の定義において生じる平方数を $c(n)$ (A053769)とすると

$\begin{align}c(1)&= 4=2^2\\ c(2)&=49=7^2\\ c(3)&=400=20^2\\ c(4)&=4624=68^2\\ c(5)&=28185481=5309^2\\ c(6)&=39969605776=199924^2\\ c(7)&=331478850564=575742^2\\ c(8)&=379404257764=615958^2\\ c(9)&=140137415341225=11837965^2\\ c(10)&=209117137139689=14460883^2\\ c(11)&=898672389958225=29977865^2\\ c(12)&=27694219155303204=166415802^2\\ c(13)&=2003605052331579489=1415487567^2\\ c(14)&=3043021713613106404=1744425898^2\\ c(15)&=5040463493957084964=2245097658^2\\ c(16)&=14402336510464445764=3795041042^2\\ c(17)&=81662818789290090564=9036748242^2\end{align}$