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前回示した定理2によって、幾つかの仮定のもと、を具体的に書き表すことが出来ました。その仮定におけるの条件を強めることによって、定理2に現れる各半開区間は非交差(disjoint)になることを示せます。
- 自然数が存在して、ならばはにおいて滑らかに置換可能ではなく、ならばはにおいて滑らかに置換可能である。
このとき、定理1による等式
の右辺は、丁度個の長さの半開区間の非交差和になっている。証明. のときはであり、主張は成立している。以下、とする。
を
を満たすようなの元とし、かつ、とは形式的に異なる和であると仮定する(すなわち、。であってもよい)。このとき、
または
のいずれかが成り立つ。
①の場合
と評価できる。最後の評価はがにおいて滑らかに置換可能ではないことから従う。なので、かが成り立つ。もし、ならば
からとなって矛盾する。従って、であり、
を得る。すなわち、。
②の場合
と評価できる。こうして、どちらの場合であってもであることが示された。つまり、この定理の条件下では、の元とが形式的に異なる和であれば値も異なることが分かり、更に互いの距離が以上離れていなければならないことが分かった。よって、の元の個数は個であり、がであれば、
である。これで定理の証明が完了する。 Q.E.D.
を決定する一般論が十分な形で得られたので、のケースに適用しましょう。
が存在すれば、それをと定義し、存在しなければとします。調和級数が発散することからであり、ならば
が成り立つので、です。Grahamの第二論文を読む ー①の補題3よりが成り立ちます。同記事で示した補題2よりなるはにおいて滑らかに置換可能ではないので、定理2および定理3より次が成り立ちます:
これと、定理1を合わせれば次の結論が得られます:
主定理においての場合を考えると、エジプト分数とグラハムの定理で紹介したFibonacci-Sylvesterの定理になっていることが分かります。主定理においての値のみが非自明ですが、上からの評価が与えられているため、与えられたに対してを計算することは有限の時間で実行可能です。
証明 は既に確認済みであり、
なので、が確定する。 Q.E.D.
これで、遂にGrahamの定理の証明が完了します!!!
証明. 補題4よりなので、であり、
である。よって、主定理より系1が得られる。 Q.E.D.
三乗数の場合もやってみましょう。
証明. Apéry定数の近似値はであった*1。
よりが従う。 Q.E.D.
証明. 補題4よりなので、であり、
である。よって、主定理より系2が得られる。 Q.E.D.
次回、Grahamの定理シリーズ最終回!!