ピライ素数 - INTEGERS

Pillaiは「 $n!+1$ の素因数を $n$ で割った余りは $1$ であると言えるだろうか？」という疑問を持ちました。

$\begin{align} 2!+1&=3 \\ 3!+1&=7 \\ 4!+1&= 5^2 \\ 5!+1&= 11^2 \\ 6!+1 &= 7 \times 103 \\ 7!+1 &= 71^2\end{align}$

については $n!+1$ の任意の素因数 $p$ が $p \equiv 1 \pmod{n}$ を満たしていることがわかります。ところが、

$8!+1 = 61 \times 661$

に至って、 $61 \equiv 661 \equiv 5 \pmod{8}$ という例が現れます。つまり、Pillaiの疑問は否定的であることがわかりました。そうして、Pillai素数という概念が定義されています：

定義ある自然数 $n$ が存在して、 $n!+1$ を割り切り、 $p \not \equiv 1 \pmod{n}$ が成り立つような素数 $p$ のことをPillai素数という。

$61$ と $661$ はPillai素数ですが、最小のPillai素数は $23$ です(Chowlaが指摘)。

$14!+1 = 23 \times 3790360487, \quad 18!+1 = 19 \times 23 \times 29 \times 61 \times 67 \times 123610951$

で、 $23 \equiv 9 \pmod{14}, \quad 23 \equiv 5 \pmod{18}$ となっています。最初の100個のPillai素数は次のようになっています：

$\begin{align}&23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, 227, 233, 239, 251, 257, 269, \\ &271, 277, 293, 307, 311, 317, 359, 379, 383, 389, 397, 401, 419, 431, 449, 461, 463, \\ &467, 479, 499, 503, 521, 557, 563, 569, 571, 577, 593, 599, 601, 607, 613, 619, 631, \\ &641, 647, 661, 673, 683, 691, 709, 719, 727, 733, 739, 787, 797, 809, 811, 823, 829, \\ &853, 857, 881, 883, 887, 907, 919, 947, 953, 967, 983, 991, 1019, 1021, 1031, 1033, \\ &1061, 1091, 1117, 1129, 1151, 1153, 1187, 1201, 1213, 1217, 1229, 1249, 1289, 1297\end{align}$