インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

三角数

カタラン予想の簡単な場合

この記事では正の整数のことを自然数と呼ぶことにします。記事integers.hatenablog.comで証明したEuler-Legendreの定理を思い出します。定理 (Euler, Legendre) 方程式が整数解を持てば、またはが成り立つ。今回はこの定理から簡単にわかる帰結を紹介します…

216:素数と三角数の和

と言えばというuniqueな性質を持つ数ですが、が関わる面白い予想があるので紹介します。 人は整数を何らかの和の形に表したくなる生き物である。 我々人類は任意の正整数を四つの平方数の和として表してみたり、integers.hatenablog.com三つの三角数の和とし…

ガウスの三角数定理

次の定理はFermatが証明抜きで成立を言明し*1、Gaussが1796年に証明したものです。三角数定理 任意の正整数は三つ以下の三角数の和として表すことができる。三角数に を含めれば、任意の正整数は丁度三つの三角数の和として表すことができます。Gaussは日記…

n^2+(n+1)^2に関するシェルピンスキーの定理

昨夜、次の問題がTwitterのTLで話題になっていました。この前気になった「連続する二数の二乗和が素数」となり隣接するもの(例 1201と1301)を調べてみたら結構たくさんあった。なんか法則性あるかな?— miyamo (@DMiyamo3) 2016年9月26日 (続き)1,2,3のとき1…

34以上の任意の整数は相異なる三角数の和として表すことができる

この記事では標題の主張を証明します。この事実からは「相異なる三角数の和として表すことのできない最大の整数」という特徴を持っていることがわかります。 証明は integers.hatenablog.com で紹介したSierpinskiの補題に基づきます:補題 (Sierpinski 1955…

平方三角数

は2番目の平方三角数である。 三角数 のことを三角数と言います。これは個の小石を三角形状に並べることができるからです。 このうち、平方数にもなっているようなものを平方三角数と言います。三角形にも正方形にも並べられる数です:平方三角数のうち、小さ…