インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

34以上の任意の整数は相異なる三角数の和として表すことができる

三角数 整数 整数-33

この記事では標題の主張を証明します。この事実から33は「相異なる三角数の和として表すことのできない最大の整数」という特徴を持っていることがわかります。
証明は
integers.hatenablog.com
で紹介したSierpinskiの補題に基づきます：

補題 (Sierpinski 1955) 自然数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}が次の二条件を満たすと仮定する：

  1. 非負整数rが存在して、n \geq r+1に対してa_{n+1}\leq 2a_nが成り立つ。
  2. 非負整数lが存在して、l\leq N < l+a_{r+1}なる任意の整数NがN=\sum_{n=1}^r\epsilon_na_n \ (\epsilon_n \in \{0, 1\})と書ける。

このとき、l以上の任意の整数は数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}の有限個の相異なる項の和として表される(ただし、l=0のときは0個の和=0も含める)。

標題の主張の証明

三角数T_nはn \geq 2でT_{n+1} \leq 2T_nを満たす。l=34, \ r=8のときにSierpinskiの補題の条件を満たすことを確認すれば試合終了。

\begin{align}&34=6+28 \\ &35 =1+6+28 \\ &36 =36 \\ &37 =1+36 \\ &38 =10+28 \\ &39 =1+10+28 \\ &40 =1+3+36 \\ &41 =3+10+28 \\ &42 =6+36 \\ &43 =1+6+36 \\ &44 = 6+10+28\\ &45 =45 \\ &46 =1+45 \\ &47 =1+10+36 \\ &48 =1+3+6+10+28 \\ &49 =21+28 \\ &50 =1+3+10+36 \\ &51 =6+45 \\ &52 =1+6+45 \\ &53 =1+6+10+36 \\ &54 =3+6+45 \\ &55 =10+45 \\ &56 =1+10+45 \\ &57 =21+36 \\ &58 =1+21+36 \\ &59 =1+3+10+45 \\ &60 =15+45 \\ &61 =1+15+45 \\ &62 =1+6+10+45 \\ &63 =3+15+45 \\ &64 =28+36 \\ &65 =1+28+36 \\ &66 =21+45 \\ &67 =3+28+36 \\ &68 =1+3+28+36 \\ &69 =3+21+45 \\ &70 =10+15+45 \\ &71 =1+10+15+45 \\ &72 =6+21+45 \\ &73 =3+10+15+45 \\ &74 =10+28+36 \\ &75 =1+10+28+36 \\ &76 =10+21+45 \\ &77 =3+10+28+36 \\ &78 =1+3+10+28+36 \end{align}

Q.E.D.

付録: 三角数

平方三角数については昔記事を書いたのですが
integers.hatenablog.com
三角数の数値を載せていなかったので、少し付録として載せておきます。

\begin{align}&T_{1}= 1\\ &T_{2}= 3\\ &T_{3}= 6\\ &T_{4}= 10\\ &T_{5}= 15\\ &T_{6}= 21\\ &T_{7}= 28\\ &T_{8}= 36\\ &T_{9}= 45\\ &T_{10}= 55\\ &T_{11}= 66\\ &T_{12}= 78\\ &T_{13}= 91\\ &T_{14}= 105\\ &T_{15}= 120\\ &T_{16}= 136\\ &T_{17}= 153\\ &T_{18}= 171\\ &T_{19}= 190\\ &T_{20}= 210\\ &T_{21}= 231\\ &T_{22}= 253\\ &T_{23}= 276\\ &T_{24}= 300\\ &T_{25}= 325\\ &T_{26}= 351\\ &T_{27}= 378\\ &T_{28}= 406\\ &T_{29}= 435\\ &T_{30}= 465\\ &T_{31}= 496\\ &T_{32}= 528\\ &T_{33}= 561\\ &T_{34}= 595\\ &T_{35}= 630\\ &T_{36}= 666\\ &T_{37}= 703\\ &T_{38}= 741\\ &T_{39}= 780\\ &T_{40}= 820\\ &T_{41}= 861\\ &T_{42}= 903\\ &T_{43}= 946\\ &T_{44}= 990\\ &T_{45}= 1035\\ &T_{46}= 1081\\ &T_{47}= 1128\\ &T_{48}= 1176\\ &T_{49}= 1225\\ &T_{50}= 1275\\ &T_{51}= 1326\\ &T_{52}= 1378\\ &T_{53}= 1431\\ &T_{54}= 1485\\ &T_{55}= 1540\\ &T_{56}= 1596\\ &T_{57}= 1653\\ &T_{58}= 1711\\ &T_{59}= 1770\\ &T_{60}= 1830\\ &T_{61}= 1891\\ &T_{62}= 1953\\ &T_{63}= 2016\\ &T_{64}= 2080\\ &T_{65}= 2145\\ &T_{66}= 2211\\ &T_{67}= 2278\\ &T_{68}= 2346\\ &T_{69}= 2415\\ &T_{70}= 2485\\ &T_{71}= 2556\\ &T_{72}= 2628\\ &T_{73}= 2701\\ &T_{74}= 2775\\ &T_{75}= 2850\\ &T_{76}= 2926\\ &T_{77}= 3003\\ &T_{78}= 3081\\ &T_{79}= 3160\\ &T_{80}= 3240\\ &T_{81}= 3321\\ &T_{82}= 3403\\ &T_{83}= 3486\\ &T_{84}= 3570\\ &T_{85}= 3655\\ &T_{86}= 3741\\ &T_{87}= 3828\\ &T_{88}= 3916\\ &T_{89}= 4005\\ &T_{90}= 4095\\ &T_{91}= 4186\\ &T_{92}= 4278\\ &T_{93}= 4371\\ &T_{94}= 4465\\ &T_{95}= 4560\\ &T_{96}= 4656\\ &T_{97}= 4753\\ &T_{98}= 4851\\ &T_{99}= 4950\\ &T_{100}= 5050\end{align}