INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

カタラン予想の簡単な場合

定理解説三角数

この記事では正の整数のことを自然数と呼ぶことにします。記事

integers.hatenablog.com

で証明したEuler-Legendreの定理を思い出します。

定理 (Euler, Legendre) 方程式

$x^3+y^3=2z^3$

が整数解を持てば、 $x=y$ または $z=0$ が成り立つ。

今回はこの定理から簡単にわかる帰結を紹介します。次の定理は以前紹介した

integers.hatenablog.com

とは対照的な結果です。

定理自然数の立方数であるような三角数は $1$ しか存在しない。

証明. 自然数の立方数であるような三角数が存在すれば、自然数 $n, m$ を用いて

$m(m+1)=2n^3$

が成り立つ。 $m$ が偶数であれば、 $m=2k$ とおいて

$k(2k+1)=n^3$

となる。 $(k, 2k+1)=1$ であるから、自然数 $a, b$ が存在して $k=a^3, \ 2k+1=b^3$ が成り立つ。つまり、

$b^3-1=a^3$

が成り立つので、Euler-Legendreの定理に矛盾する。よって、 $m$ は奇数であり、自然数 $k$ を用いて $m=2k-1$ と書く。すると、

$(2k-1)k=n^3$

であり、 $(2k-1, k)=1$ であるから、自然数 $a, b$ が存在して $2k-1=a^3, \ k=b^3$ が成り立つ。つまり、

$a^3+1=2b^3$

が成り立つので、Euler-Legendreの定理より $a=1$ 、すなわち $k=m=n=1$ でなければならない。 Q.E.D.

このことから、Catalan予想の非常に弱い場合が証明できます。Catalan予想については

tsujimotter.hatenablog.com

を参照してください。

定理 $x^2-y^3=1$ が自然数解を持つならば $(x, y)=(3, 2)$ である。

証明. $x^3-y^3=1$ が自然数解を持ったと仮定する。もし、 $x$ が偶数であれば、 $(x-1, x+1)=1$ なので、

$(x-1)(x+1)=y^3$

から、自然数 $a, b$ が存在して $x-1=a^3, \ x+1=b^3$ 、すなわち、

$b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)=2$

が成り立つので、 $b^2+ab+a^2 \mid 2$ が得られる。これは明らかに起こりえない。よって、 $x$ は $3$ 以上の奇数であり、 $y$ は偶数なので、自然数 $m, n$ を用いて $x=2m+1, \ y=2n$ と書ける。このとき、

$(2m+1)^2-1=8n^3$

は

$\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}=n^3$

と書き直せ、 $m=n=1$ が従う。これは $x=3, y=2$ を意味する。 Q.E.D.