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数、特に整数に関する記事。

メビウス関数

この記事では整数論では頻出の数論的関数であるMöbius関数について、その基本事項をまとめます。

定義

定義 関数f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{C}のことを数論的関数という。「関数f(n)」のように表すことが多い。

定義 Möbius関数\mu (n)
\displaystyle \mu (n) := \begin{cases}1 & n=1 \\ (-1)^k & n\text{が相異なる}k\text{個の素因数の積の場合} \\ 0 & \text{その他の場合} \end{cases}
によって定義する。

補題1 n \geq 2のとき、\displaystyle \sum_{d \mid n}\mu (d) = 0が成り立つ。

証明. Möbius関数の定義からnは平方因数を持たないと仮定してよい。n=p_1\cdots p_k
(p_1, \dots, p_kは相異なる素数)とする。このとき、
\displaystyle \sum_{d \mid n} \mu (d) = \mu (1) + \sum_{i=1}^{k}\sum_{1 \leq j_1 < \cdots < j_i \leq k}\mu (p_{j_1} \cdots p_{j_i}) = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} (-1)^i = (1-1)^k = 0
である。 Q.E.D.

Möbiusの反転公式

Möbiusの反転公式(その一)
数論的関数f(n), g(n)\displaystyle g(n) = \sum_{d\mid n}f(d)なる関係にあることと\displaystyle f(n) = \sum_{d \mid n}\mu (d)g\left( \frac{n}{d} \right) なる関係にあることは同値である。

証明. 最初の式を仮定する。仮定している関係はg(n/d)に対しても成り立つので、

\displaystyle \sum_{d\mid n}\mu (d)g\left( \frac{n}{d} \right) = \sum_{d \mid n}\mu (d) \sum_{d' \mid \frac{n}{d}}f(d') = \sum_{d' \mid n}f(d')\sum_{d \mid \frac{n}{d'}}\mu (d)

が成り立つ。補題1より、d=nのとき\displaystyle \sum_{d\mid \frac{n}{d'}}\mu (d) =1であり、それ以外のときは0である。よって、右辺はf(n)に等しい。逆も同様に示せる。 Q.E.D.

Möbiusの反転公式(その二)
関数F, G\colon \mathbb{R}_{\geq 1} \to \mathbb{C}\displaystyle G(x) = \sum_{n \leq x}F\left( \frac{x}{n} \right)なる関係にあることと、\displaystyle F(x) = \sum_{n \leq x}\mu (n)G\left( \frac{x}{n} \right)なる関係にあることは同値である。
ただし、和はx以下の自然数全体をわたる。

証明. 最初の式を仮定する。仮定している関係はG(x/n)に対しても成り立つので、

\displaystyle \sum_{n \leq x}\mu (n)G\left( \frac{x}{n} \right) = \sum_{n \leq x}\mu (n) \sum_{d \leq \frac{x}{n}}F\left( \frac{x}{nd} \right) = \sum_{m \leq x} \left( \sum_{n \mid m}\mu (n) \right) F\left( \frac{x}{m} \right)

が成り立つ。右辺の括弧内の和は補題1よりm=1のときのみ生き残るので、右辺は結局F(x)に等しいことがわかる。逆も同様に示せる。 Q.E.D.

次の命題におけるd(n)は約数の個数関数である(d(n) := \sum_{d \mid n}1)。

Möbiusの反転公式(その三)
a(n)を数論的関数であって、a(nm) = a(n)a(m)およびa(n) \neq 0が任意のn, mに対して成り立つと仮定する。また、関数F\colon U \to \mathbb{C}に対して \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}d(n) \left| \frac{F(nx)}{a(n)} \right| が絶対収束すると仮定する(U\mathbb{C}の部分集合)。このとき、\displaystyle G(x) := \sum_{n=1}^{\infty}\frac{F(nx)}{a(n)}とすると、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{a(n)}G(nx)が絶対収束して\displaystyle F(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{a(n)}G(nx)が成り立つ。

証明.

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{a(n)}G(nx) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{a(n)}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{F(mnx)}{a(m)}=\sum_{l=1}^{\infty}\left( \sum_{n \mid l}\mu (n) \right)\frac{F(lx)}{a(l)}

と計算される。仮定よりこれらは全て絶対収束し、正しい変形であることがわかる。よって、補題1より証明が完了する。 Q.E.D.

素数ゼータ関数

Möbiusの反転公式(その三)の応用として、素数ゼータ関数の公式を一つ与えます。その前に割と重要な議論を復習します。次の定理は
integers.hatenablog.com
でおすすめの証明法を二通り紹介しました。しかしながら、最もオーソドックスな次の証明法は重要です:

定理 \displaystyle \sum_p\frac{1}{p} = \inftyが成り立つ。ただし、和は全ての素数をわたる。

証明. s > 1とする。
integers.hatenablog.com
で証明したEuler積表示の両辺の自然対数をとることにより、

\begin{equation}\begin{split}\log \zeta (s) &= \log \left( \lim_{N \to \infty} \prod_{p \leq N}\frac{1}{1-p^{-s}} \right) = \lim_{N \to \infty}\left( \log \prod_{p \leq N}\frac{1}{1-p^{-s}} \right) \\ &= \lim_{N \to \infty} \left( -\sum_{p \leq N}\log (1-p^{-s}) \right) = -\sum_p\log (1-p^{-s})\end{split}\end{equation}

と変形でき、\logのTaylor展開により、

\displaystyle \log \zeta (s) = \sum_p\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{mp^{ms}} = \sum_p\frac{1}{p^s} + F(x) -①

となる。ここで、

\displaystyle F(s) = \sum_p\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{mp^{ms}} \leq \frac{1}{2}\sum_p\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{p^{ms}} \leq \frac{1}{2}\sum_p\frac{p^{-2s}}{1-p^{-s}} < \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{2}

なので*1F(s)s \geq 1で一様収束する。また、s \to +1のとき\log \zeta (s)が発散するので、\displaystyle \sum_p\frac{1}{p}は発散しなければならない。 Q.E.D.

定理 (素数ゼータ関数)
複素数sに対して\displaystyle P(s) = \sum_p\frac{1}{p^s}\mathrm{Re} (s) > 1で絶対収束し、素数ゼータ関数とよぶ。ただし、和は全ての素数をわたるものとする。このとき、
\displaystyle P(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n}\log \zeta (ns)
が成り立つ。\zeta (s)はRiemannゼータ関数。

証明. \mathrm{Re} (s) > 1のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P(ns) < \zeta (s)は絶対収束する。また、①より

\displaystyle \log \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}P(ns)

が成り立つ。よって、Möbiusの反転公式(その三)により所望の公式を得る。 Q.E.D.

漸近公式

最後にMöbius関数に関する漸近公式を証明します(漸近挙動は全てx\to \infty)。まず、準備として
integers.hatenablog.com
で証明した以下の公式を思い出しましょう:

\displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{1}{n} = \log x + \gamma + O(x^{-1}) -②

\displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{\log n}{n} = \frac{1}{2}\log^2x+a+O\left( \frac{\log x}{x} \right) -③

更に、漸近公式を一つ用意します:

補題2 任意の実数h > 0に対して\displaystyle \sum_{n \leq x}\log^h\frac{x}{n} = O(x)が成り立つ。

証明. 対数関数は単調増加関数なので、2以上の整数nに対して、

\displaystyle \log^h\left( \frac{x}{n} \right) \leq \int_{n-1}^n\log^h\left( \frac{x}{t} \right) dt

が成り立つ。よって、

\displaystyle \sum_{n=2}^{[ x]}\log^h\left( \frac{x}{n} \right) \leq \int_1^x \log^h \left( \frac{x}{t} \right) dt = x\int_1^x\frac{\log^hu}{u^2}du < x\int_1^{\infty}\frac{\log^hu}{u^2}du

を得る。\displaystyle u^{\frac{3}{2}}\frac{\log^hu}{u^2}は有界であるから、最後の広義積分は収束する。また、n=1のときの寄与は \log^hx = O(x)であるから、\displaystyle \sum_{n \leq x}\log^h\left( \frac{x}{n} \right) = O(x)が成り立つ。 Q.E.D.

次が目標の漸近公式です:

命題 以下の漸近公式が成り立つ:
\displaystyle \sum_{n\leq x}\frac{\mu (n)}{n} = O(1),
\displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{\mu (n)}{n}\log \frac{x}{n} = O(1),
\displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{\mu (n)}{n}\log^2\frac{x}{n} =2\log x +O(1).

証明. F(x)=1, G(x) = [ x ] として、Möbiusの反転公式(その二)を適用することにより、

\displaystyle 1 = \sum_{n \leq x}\mu (n) \left[ \frac{x}{n} \right] = x\sum_{n \leq x}\frac{\mu (n)}{n} - \sum_{n \leq x}\left\{ \frac{x}{n} \right\} \mu (n) = x\sum_{n \leq x}\frac{\mu (n)}{n} + O(x)

が得られる。両辺をxで割ることにより一つ目の公式が得られる。

次に、\displaystyle F(x) = x, G(x) = \sum_{n \leq x}\frac{x}{n}としてMöbiusの反転公式(その二)を適用することにより、②によってG(x) = x\log x+\gamma x+O(1)であるから、

\displaystyle x = \sum_{n \leq x}\mu (n) G\left( \frac{x}{n} \right) = x\sum_{n \leq x}\frac{\mu (n)}{n}\log \frac{x}{n} + \gamma x\sum_{n \leq x}\frac{\mu (n)}{n} + O(x)

を得る。よって、一つ目の公式より二つ目の公式が得られる。

最後に、\displaystyle F(x)=x\log x, G(x) = \sum_{x \leq n}\frac{x}{n}\log \frac{x}{n}としてMöbiusの反転公式(その二)を適用する。②、③より

\displaystyle G(x) = x\log x \left( \sum_{n \leq x}\frac{1}{n} \right) -x\sum_{n \leq x}\frac{\log n}{n} = \frac{1}{2}x\log^2 x + \gamma x\log x - ax + O(\log x)

であるから、

\begin{equation}\begin{split} x\log x &= \sum_{n \leq x}\mu (n) G\left( \frac{x}{n} \right) \\ &= \frac{x}{2}\sum_{n \leq x}\frac{\mu (n)}{n}\log^2\frac{x}{n} + \gamma x \sum_{n \leq x}\frac{\mu (n)}{n}\log \frac{x}{n} -ax\sum_{ n\leq x}\frac{\mu (n)}{n} + O \left( \sum_{n \leq x}\log \frac{x}{n} \right) \end{split}\end{equation}

を得る。よって、補題2および一つ目、二つ目の公式から三つ目の公式が得られる。 Q.E.D.

*1:最後の和は望遠鏡和で求まる。 integers.hatenablog.com