ジョルダンのトーシェント関数

Jordanのトーシェント関数 $J_k(n)$ は次のように定義されます：

定義１ $k, n$ を自然数とするとき、

$\displaystyle J_k(n) := n^k \prod_{p \mid n}\left( 1-\frac{1}{p^k} \right)$

で $J_k(n)$ を定義し、Jordanのトーシェント関数と呼ぶ。

$p$ と書けば素数です。

$k=1$ のときEulerのトーシェント関数 $\varphi (n)$ に一致します( $J_1(n) = \varphi(n)$ )。名前についているJordanはJordanの曲線定理などで有名なあのJordanです。

定義から、 $J_k(1)=1, \ J_k(2) = 2^k-1$ であり*1、 $n \geq 3$ のとき $J_k(n)$ は常に偶数であることがわかります。Jordanのトーシェント関数はEulerのトーシェント関数およびMersenne数の同時一般化とも言えるでしょう。

$J_2(n)$ および $J_3(n)$ の $1 \leq n \leq 30$ における値は次のようになっています：

$J_2(n) \ (1 \leq n \leq 30):$

$\begin{align}&J_2(1)= 1, \ J_2(2)= 3, \ J_2(3)= 8, \ J_2(4)= 12, \ J_2(5)= 24, \\ &J_2(6)= 24, \ J_2(7)= 48, \ J_2(8)= 48, \ J_2(9)= 72, \ J_2(10)= 72, \\ &J_2(11)= 120, \ J_2(12)= 96, \ J_2(13)= 168, \ J_2(14)= 144, \ J_2(15)= 192,\\ &J_2(16)= 192, \ J_2(17)= 288, \ J_2(18)= 216, \ J_2(19)= 360, \ J_2(20)= 288,\\ &J_2(21)= 384, \ J_2(22)= 360, \ J_2(23)= 528, \ J_2(24)= 384, \ J_2(25)= 600,\\ &J_2(26)= 504, \ J_2(27)= 648, \ J_2(28)= 576, \ J_2(29)= 840, \ J_2(30)= 576\end{align}$

$J_3(n) \ (1 \leq n \leq 30)$ :

$\begin{align}&J_3(1)= 1, \ J_3(2)= 7, \ J_3(3)= 26, \ J_3(4)= 56, \ J_3(5)= 124,\\ &J_3(6)= 182, \ J_3(7)= 342, \ J_3(8)= 448, \ J_3(9)= 702, \ J_3(10)= 868,\\ &J_3(11)= 1330, \ J_3(12)= 1456, \ J_3(13)= 2196, \ J_3(14)= 2394, \ J_3(15)= 3224,\\ &J_3(16)= 3584, \ J_3(17)= 4912, \ J_3(18)= 4914, \ J_3(19)= 6858, \ J_3(20)= 6944,\\ &J_3(21)= 8892, \ J_3(22)= 9310, \ J_3(23)= 12166, \ J_3(24)= 11648, \ J_3(25)= 15500,\\ &J_3(26)= 15372, \ J_3(27)= 18954, \ J_3(28)= 19152, \ J_3(29)= 24388, \ J_3(30)= 22568\end{align}$

$J_k(n)$ は次の式で特徴付けられます：

命題 $\displaystyle \ \ \ \sum_{d \mid n}J_k(n) = n^k.$

証明. Jordanのトーシェント関数の定義から

$\displaystyle J_k(n) = \sum_{d\mid n} \mu (d)\frac{n^k}{d^k}$

なので、メビウス関数 - INTEGERSのMöbiusの反転公式（その一）から所望の等式が従う。 Q.E.D.

Dedekindの $\psi$ 関数

$\displaystyle \psi (n) = n\prod_{p \mid n} \left( 1+\frac{1}{p} \right)$

はJordanのトーシェント関数で

$\displaystyle \psi (n) = \frac{J_2(n)}{J_1(n)}$

と書けます。これを受けて、一般化Dedekind- $\psi$ 関数は次のように定義されます：

定義２ $k, n$ を自然数とするとき、

$\displaystyle \psi_k(n) := \frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)} = n^k \prod_{p \mid n}\left( 1+\frac{1}{p^k} \right)$

で $\psi_k(n)$ を定義し、一般化されたDedekindの $\psi$ 関数と呼ぶ。

$\psi (n) \ (1 \leq n \leq 30)$ :

$\begin{align}&\psi (1)= 1, \ \psi (2)= 3, \ \psi (3)= 4, \ \psi (4)= 6, \ \psi (5)= 6,\\ &\psi (6)= 12, \ \psi (7)= 8, \ \psi (8)= 12, \ \psi (9)= 12, \ \psi (10)= 18,\\ &\psi (11)= 12, \ \psi (12)= 24, \ \psi (13)= 14, \ \psi (14)= 24, \ \psi (15)= 24,\\ &\psi (16)= 24, \ \psi (17)= 18, \ \psi (18)= 36, \ \psi (19)= 20, \ \psi (20)= 36,\\ &\psi (21)= 32, \ \psi (22)= 36, \ \psi (23)= 24, \ \psi (24)= 48, \ \psi (25)= 30,\\ &\psi (26)= 42, \ \psi (27)= 36, \ \psi (28)= 48, \ \psi (29)= 30, \ \psi (30)= 72\end{align}$

$\psi_2(n) \ (1 \leq n \leq 30)$ :

$\begin{align}&\psi_2(1)= 1, \ \psi_2(2)= 5, \ \psi_2(3)= 10, \ \psi_2(4)= 20, \ \psi_2(5)= 26,\\ &\psi_2(6)= 50, \ \psi_2(7)= 50, \ \psi_2(8)= 80, \ \psi_2(9)= 90, \ \psi_2(10)= 130,\\ &\psi_2(11)= 122, \ \psi_2(12)= 200, \ \psi_2(13)= 170, \ \psi_2(14)= 250, \ \psi_2(15)= 260,\\ &\psi_2(16)= 320, \ \psi_2(17)= 290, \ \psi_2(18)= 450, \ \psi_2(19)= 362, \ \psi_2(20)= 520,\\ &\psi_2(21)= 500, \ \psi_2(22)= 610, \ \psi_2(23)= 530, \ \psi_2(24)= 800, \ \psi_2(25)= 650,\\ &\psi_2(26)= 850, \ \psi_2(27)= 810, \ \psi_2(28)= 1000, \ \psi_2(29)= 842, \ \psi_2(30)= 1300\end{align}$

$GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ および $SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ の位数

$GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ および $SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ の位数はJordanのトーシェント関数で書けます(Jordan自身が証明)：

定理自然数 $n, m$ に対して

$\begin{align}\#GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=1}^mJ_k(n), \\ \#SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=2}^mJ_k(n)\end{align}$

が成り立つ。

$GL_1$ のときを考えると

$\displaystyle \#\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right)^{\times} = \varphi (n)$

の一般化と思えます。この節では、この定理の証明を解説します。

補題１ $F$ を位数 $q$ の有限体とすると、

$\displaystyle \#GL_m(F) = \prod_{k=0}^{m-1}(q^m-q^k).$

証明. $GL_m(F)$ の元を $m$ 列の列ベクトル $v_1, \dots, v_m$ を用いて $(v_1, \dots, v_m)$ と表す。このとき、 $v_1$ としては $0$ ベクトル以外の $q^m-1$ 通りのベクトルがあり得る。 $v_1$ を固定して考えると、 $v_2$ として取り得るベクトルは $v_1$ の定数倍を除く $q^m-q$ 通りの候補がある。次に、 $v_1, v_2$ を固定して $v_3$ として取り得るベクトルは $v_1$ と $v_2$ の $F$ 線形結合として書けるベクトルを除く $q^m-q^2$ 通りの候補がある。後は推して知るべし。 Q.E.D.

補題２ 素数 $p$ と自然数 $e$ に対して

$\begin{align}\#GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) &= p^{em^2}\prod_{k=1}^m\left( 1-\frac{1}{p^k} \right), \\ \#SL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) &= p^{e(m^2-1)}\prod_{k=2}^m\left( 1-\frac{1}{p^k}\right) \end{align}$

が成り立つ。

証明準同型写像

$\varphi \colon M_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \to M_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$

を各成分を $\bmod{p}$ する写像とする。また、 $G(m; p^e)$ を

$G(m; p^e) := \{ A \in M_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \mid \varphi (A) = 1_m\}$

で定める。 $1_m \in GL_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ は単位行列。 $A \in G(m; p^e)$ ならば $\det (A) \equiv 1 \pmod{p}$ なので、 $G(m; p^e)$ は乗法群をなす。また、定義より

$\#G(m; p^e)=p^{(e-1)m^2}$ ー①

は容易に分かる。さて、完全列

$1 \longrightarrow G(m; p^e) \longrightarrow GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \xrightarrow{\varphi \text{の制限}} GL_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \longrightarrow 1$

があるので、補題１および①より

$\begin{align} \#GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) &= \#G(m; p^e) \times \#GL_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = p^{(e-1)m^2} \times p^{m^2}\prod_{k=1}^m( 1-p^{-k}) \\ &= p^{em^2}\prod_{k=1}^m\left( 1-\frac{1}{p^k} \right)\end{align}$

を得る。また、完全列

$1 \longrightarrow SL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \longrightarrow GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \xrightarrow{\det} (\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})^{\times} \longrightarrow 1$

から

$\displaystyle \#SL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) = \frac{\#GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})}{\#(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})^{\times}} = \frac{\displaystyle p^{em^2}\prod_{k=1}^m(1-p^{-k})}{p^e(1-p^{-1})} = p^{e(m^2-1)}\prod_{k=2}^m\left( 1-\frac{1}{p^k} \right)$

と計算できる。 Q.E.D.

定理の証明. $\displaystyle n=\prod_{p \mid n}p^{e_p}$ と素因数分解されているとき、中国剰余定理

$\displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \prod_{p \mid n}\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}$

から自然な同型

$\displaystyle GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq \prod_{p \mid n}GL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z})$

および

$\displaystyle SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq \prod_{p \mid n}SL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z})$

が得られる。よって、補題２より

$\begin{align}\#GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= \prod_{p \mid n}\#GL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}) = \prod_{p \mid n}p^{e_pm^2}\prod_{k=1}^m \left( 1-\frac{1}{p^k}\right) \\ &= n^{m^2}\prod_{k=1}^m\frac{J_k(n)}{n^k} = \frac{n^{m^2}}{n^{\frac{m(m-1)}{2}}}\prod_{k=1}^mJ_k(n) = n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=1}^mJ_k(m),\end{align}$

$\begin{align}\#SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= \prod_{p \mid n}\#SL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}) = \prod_{p \mid n}p^{e_p(m^2-1)}\prod_{k=2}^m \left( 1-\frac{1}{p^k}\right) \\ &= n^{m^2-1}\prod_{k=2}^m\frac{J_k(n)}{n^k} = \frac{n^{m^2-1}}{n^{\frac{m(m-1)}{2}-1}}\prod_{k=2}^mJ_k(n) = n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=2}^mJ_k(m)\end{align}$

と計算できる。 Q.E.D.

Riemannゼータ値の公式

Jordanのトーシェント関数および素数階乗 $p_n\#$

を用いたRiemannゼータ値の公式を紹介してこの記事を締めくくりたいと思います：

定理 (Mező, István) $k$ を $2$ 以上の整数とするとき、

$\displaystyle \zeta (k) = 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(p_{n-1}\#)^k}{J_k(p_n)\#} = \frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(p_{n-1}\#)^k}{J_k(p_n)\#}$

が成り立つ。ここで、 $\zeta (k)$ はRiemannゼータ値、 $p_n$ は $n$ 番目の素数であり、便宜的に $p_0\#:=1$ と定める。

証明. 自然数を

$1$ ,
最大の素因数が $2$ ,
最大の素因数が $3$ ,
最大の素因数が $5$ ,

…

と分類して足し合わせていくことにより、

$\displaystyle \zeta (k) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k} = 1+\sum_{j_1=1}^{\infty}\frac{1}{(p_1^{j_1})^k}+\sum_{j_1=0}^{\infty}\sum_{j_2=1}^{\infty}\frac{1}{(p_1^{j_1}p_2^{j_2})^k} + \sum_{j_1=0}^{\infty}\sum_{j_2=0}^{\infty}\sum_{j_3=1}^{\infty}\frac{1}{(p_1^{j_1}p_2^{j_2}p_3^{j_3})^k}+\cdots$

と変形できる。一方、等比級数の和の公式により

$\displaystyle \sum_{j_1=0}^{\infty}\cdots \sum_{j_{n-1}=0}^{\infty}\sum_{j_n=1}^{\infty} \frac{1}{(p_1^{j_1}\cdots p_n^{j_n})^k} = \prod_{i=1}^{n-1}\frac{1}{1-p_i^{-k}} \times \frac{p_n^{-k}}{1-p_n^{-k}} = \frac{1}{p_n^k}\frac{(p_n\#)^k}{J_k(p_n\#)} = \frac{(p_{n-1}\#)^k}{J_k(p_n\#)}$