3612703：交代階乗和、54503：左階乗

整数整数-3612703 整数-54503

エイプリルフール記事
integers.hatenablog.com
の問２の解説を行います。

問２は次のような問題でした：

問２
階乗交代和 $a_n$ を次のように定義する：

$\displaystyle a_n:=(-1)^n\sum_{k=1}^n(-1)^kk!$

また、 $a_n$ の最小の素因数を $p_n$ とする。このとき、任意の自然数 $n$ に対して

$p_n > n$

が成り立つことを示せ。

これも成り立ちません。Zivkovicがコンピュータを用いて次の事実を発見しました：

定理１ $\ \ \ 3612703 \mid a_{3612703}.$

これより、 $n\geq 3612703$ ならば $3612703 \mid a_n$ が成り立ち、

$n \geq 3612703 \geq p_n$

となって問題の主張する不等式は有限個の $n$ に対してしか成り立たないことがわかります。

$3612703$ は素数です。

左階乗

Zivkovicは同時に左階乗に関する問題も解決しています。左階乗は次のように定義されます*1：

定義自然数 $n$ に対して左階乗 $!n$ を

$\displaystyle !n := \sum_{k=0}^{n-1}k!$

によって定義する。

これに対して次のような疑問がありました：

Question $n > 3$ ならば $!n$ は無平方(square-free)である。

これは次の事実によって否定的に解決されました：

定理２ $\ \ \ 54503^2 \mid !26541$

$54503$ は素数です。

交代階乗和の数値

$a_{1}= 1$
$a_{2}= 1$
$a_{3}= 5$
$a_{4}= 19$
$a_{5}= 101$
$a_{6}= 619$
$a_{7}= 4421$
$a_{8}= 35899$
$a_{9}= 326981=79\times 4139$
$a_{10}= 3301819$
$a_{11}= 36614981=13\times 2816537$
$a_{12}= 442386619=29\times 15254711$
$a_{13}= 5784634181=47\times 1427\times 86249$
$a_{14}= 81393657019=23\times 73\times 211\times 229751$
$a_{15}= 1226280710981$
$a_{16}= 19696509177019=53\times 6581\times 56470483$
$a_{17}= 335990918918981=47\times 7148742955723$
$a_{18}= 6066382786809019=2683\times 2261044646593$
$a_{19}= 115578717622022981$
$a_{20}= 2317323290554617019=8969\times 210101\times 1229743351$
$a_{21}= 48773618881154822981=113\times 167\times 4511191\times 572926421$
$a_{22}= 1075227108896452857019=79\times 239\times 56947572104043899$
$a_{23}= 24776789629988523782981=85439\times 289993909455734779$
$a_{24}= 595671612103250915577019=12203\times 24281\times 2010359484638233$
$a_{25}= 14915538431227735068422981=59\times 555307\times 455254005662640637$
$a_{26}= 388375922695377900515577019=1657\times 234384986539153832538067$

$\begin{align}a_{27}&= 10500493527722974260252422981\\ &=127^2\times 271\times 1163\times 2065633479970130593 130593\end{align}$

$\begin{align}a_{28}&= 294387851083990886241251577019\\ &=61\times 221171\times 21820357757749410439949\end{align}$

$\begin{align}a_{29}&= 8547374142655711068302364422981\\ &= 661\times 238201\times 54285979056384525 380921\end{align}$

$\begin{align}a_{30}&= 256705485669535347568006115577019\\ &= 47\times 1201637\times 1729282487\times 2628439928196983\end{align}$

$\begin{align}a_{31}&= 7966133168508387470157556764422981\\ &=173183\times 45998355314946544811890062907\end{align}$

$\begin{align}a_{32}&= 255164703765185142697060455395577019\\ &=1117\times 3847\times 72977\times 4714835831\times 172580871838663\end{align}$

$\begin{align}a_{33}&= 8428152915046701352821133945884422981\\ &=83\times 3967\times 18787\times 47605403\times 28620580118782410761\end{align}$

$\begin{align}a_{34}&= 286804646124557439494797475697635577019\\ &=4729\times 243809\times 248752317336452183101312204979\end{align}$

$\begin{align}a_{35}&= 10046343320261587490171853861825564422981\\ &=37\times 2213963\times 122641070532570943868185373270851\end{align}$

$\begin{align}a_{36}&= 361946983469639629977827594289009635577019\\ &=103\times 1061\times 75540629\times 2803776067\times 15637539937597984951\end{align}$

$\begin{align}a_{37}&= 13401806107756705416338151987291892764422981\\ &=2858548279\times 22389310875677\times 209400190440222228607\end{align}$

$\begin{align}a_{38}&= 509620811358844406343669072112782398435577019\\ &=59\times 127249\times 152623\times 9987511\times 44531108771229032745689753\end{align}$

$\begin{align}a_{39}&= 19888261269838598952296612667790114958364422981\\ &=67\times 142319\times 189591247\times 583501901960699\times 18853785913516949\end{align}$

$\begin{align}a_{40}&= 796027021978059135393314656928325779313635577019\\ &=431\times 503\times 257053\times 146042777\times 97809220130514163903957920743\end{align}$

$a_{41}= 32656499591185747972776747396512425885838364422981$

$\begin{align}a_{42}&= 1372349618161694150570365858847999144050545635577019\\ &=239\times 3431063\times 1673547997094546398862985868288982580483667\end{align}$

$\begin{align}a_{43}&= 59042913445212141486784766209665998363213966364422981\\ &=103\times 3384713\times 1192912211\times 357953531217341\times 396619050022656537229\end{align}$

$\begin{align}a_{44}&= 2599228661343236626556841044804949891956424561635577019\\&=2081\times 14279965474121\times 87467205142632774288067290150974866819\end{align}$

$a_{45}= 117022992204136957935406320450852765172427309198364422981$

$a_{46}= 5385599167607951991914899108349402127789224443761635577019$

$a_{47}= 253237642343560228651049456045262577841408407945358364422981$

$a_{48}= 12160677950192512442211239591328112460680077946732401635577019$

$a_{49}= 596121186084075048430040923729967264426872753432477838364422981$

$a_{50}= 29817972015629302995182567242334801579950768815528034161635577019$

$a_{51}= 1521300781271752977229060449226968409483308951201458077838364422981$

$a_{52}= 79136874389672125594431576407176798565806196489681819746161635577019$

$a_{53}= 4195746409670353438703582176982222851124537591877131904925838364422981$

$a_{54}= 226647950929571027033389160506045358232154026979930809227362161635577019$

$a_{55}= 12469755402728704898931711687060471601348167024469505953048477838364422981$

$a_{56}= 698528832402134746955113935776664478135149811856698952734398562161635577019$

$a_{57}= 39828390672475082008725487969655657656845234984369903192450082717838364422981$

$a_{58}=2310732940610403489820749422545419026172017083196773021228249831522161635577019$

$a_{59}= 136372385605079432248118270297843987319730859689490659519593045108637838364422981$

$a_{60}= 8184614727136310712028222912925520393434441746671755292929684651300962161635577019$

$a_{61}= 499395599150088488088828589263699706832570087241364247806476254829684637838364422981$

$a_{62}= 30970577661237849037564293765687064381179710710016867944356691992991422562161635577019$

$a_{63}= 1951637737743202215078582414596211073163593979517251760161922907619738331037838364422981$

$a_{64}= 124935294448140961888354806920565269729701922195027940438639971467594965899362161635577019$

$a_{65}= 8122715297634329704834815499864930982456556629150409552483483162921360809076637838364422981$

$a_{66}= 536222223779808734298894424747977821661836507759648464980376643706749720339339362161635577019$

$a_{67}= 35934888694408876553950964671857486605505798806289876128721251856561212716604532637838364422981$

$a_{68}= 2444100653742421723047039453897314094441893402549077796242989486161660232995578763362161635577019$

$a_{69}= 168678351774398889649421299427375524997828651490971291597405051437095619521145068660637838364422981$

$a_{70}= 11809893318195492906423362422261723211461109491055454565957957813190913963268700251019362161635577019$

$a_{71}= 838668695249666824614744281817664287077123498629740781320472805575397766414810317446260637838364422981$

$a_{72}= 60395789681636420036909326103457008453700968286067588202502542158402987220806878956757899362161635577019$

$a_{73}= 4409719671831047920854347812021594101623099731996837427616577550212019116846376438060145780637838364422981$

$a_{74}= 326378824480107593305098680409232188044060152088938133742995349285199216584125189021190726539362161635577019$

$a_{75}= 24482761986915290498641378436184801472882183734481184704052899163370643460988742220422624697460637838364422981$

$a_{76}= 1861011939679134964489290882424961756757512351644848150968435083798473400034549180897307347526539362161635577019$

$a_{77}= 143322080088606734669581493203883323226982866872563510695813139604263517949121870899167900513721460637838364422981$

$a_{78}= 11180959098117691096787939665528162905504766712615688479353149686064571807285078895345918312663622539362161635577019$

$a_{79}= 883437253980179837588356231874303489164303450066956218734514913541773418886216781638015892528346553460637838364422981$

$a_{80}= 70686019792283622457223177491312228676420353892298796358374930144685265836593932061030928974752467526539362161635577019$

$a_{81}= 5726440000955084363422511054086796876735936890839327162387490119571704913857298124195153605274993472953460637838364422981$

$a_{82}= 469637893700329090478715695935318149767077357177154001454773443957172289821041850488811978203204173646406539362161635577019$

$a_{83}= 38985601803506257421418755484185292421669426050466292273769584084412579273175587484390779961900566697260473460637838364422981$

$a_{84}= 3275254532761847009577968823645945995578996860191583194845076448298646552018541276645494943006816186458917446539362161635577019$

$a_{85}= 278435156905293180685369975402415213484477637470382623210256836304261379607777392174394791509334107831816205753460637838364422981$

$a_{86}= 23948660226767439201080153228038844501800392914958999127628507660415900870134672884615069843391985357739844389446539362161635577019$

$a_{87}= 2083808638152760278012520365471350750727983345146397213195344003554238214857458501196068353393022808146994627392953460637838364422981$

$a_{88}= 183398833619245678836784325280074933629492985604252949471226236983335323969170740817904072891411479020269638889458246539362161635577019$

$a_{89}= 16324556327289215402380134937173544376210173250892288905442294470849835710409338998582008497896189183708810744110298553460637838364422981$

$a_{90}= 1469391408154472281907142598683652193509359788033796478036774569234135557383656537547410122872987870461908423725867813446539362161635577019$

$a_{91}= 133730761359685823973259426160811489954077506688872881313704960027919535214176338228137873831877461557289259913042140378553460637838364422981$

$a_{92}= 12304683293281621431502064899712741587623914209186541475526534622910218175769343180214908250005163885795818227069614613285446539362161635577019$

$a_{93}= 1144467823788359953327703097406527694627129315367226993710615746590336588945697972034988381266839681418043178062317463477466553460637838364422981$

$a_{94}= 107592147841885948074037582159380073309559674264815645313786758687454863280472229658194120833316575777142822473140067877053221446539362161635577019$

$a_{95}= 10222386340397173314525664517235347022088186665852557223898463812546839124314230895213571254552107892786139414391086539473362138553460637838364422981$

$a_{96}= 981455548530552515895045737024658454136095461985415238220477591025945383684777269092475904782448641089288955324574667766166512421446539362161635577019$

$a_{97}= 95211304133951567337433380212539040258207718457187560919883999728307800228797098229713403270806624010171995234355103499880901319898553460637838364422981$

$a_{98}= 9331679144749296178288752362844703433551486045621764102574354777566399269794426700653262755936922495813433855354253356929531746247461446539362161635577019$

$a_{99}= 923930475294692230638703636199822301473608196598194450583355284174609600662504729388761377005628260366723545352917984225582320362921178553460637838364422981$

$a_{100}= 92402284968649460451060535220066878189242360067783427018009608611042990392567410879552702599150890025886974375474305774025602890553942821446539362161635577019$

左階乗の数値

$!1= 1$
$!2= 2$
$!3= 4=2^2$
$!4= 10=2\times 5$
$!5= 34=2\times 17$
$!6= 154=2\times 7\times 11$
$!7= 874=2\times 19\times 23$
$!8= 5914=2\times 2957$
$!9= 46234=2\times 23117$
$!10= 409114=2\times 204557$
$!11= 4037914=2\times 2018957$
$!12= 43954714=2\times 19\times 31\times 37313$
$!13= 522956314=2\times 881\times 296797$
$!14= 6749977114=2\times 227\times 379\times 39229$
$!15= 93928268314=2\times 75437\times 622561$
$!16= 1401602636314=2\times 19\times 41\times 491\times 1832213$
$!17= 22324392524314=2\times 127399\times 87616043$
$!18= 378011820620314=2\times 76753\times 2462521469$
$!19= 6780385526348314=2\times 197\times 17209100320681$
$!20= 128425485935180314=2\times 27067\times 455599\times 5207129$
$!21= 2561327494111820314=2\times 500473\times 2558906768309$
$!22= 53652269665821260314= 2\times 37\times 317\times 16823\times 135954526571$
$!23= 1177652997443428940314= 2\times 6893917\times 85412472868721$
$!24= 27029669736328405580314 = 2\times 31\times 89\times 991\times 1607\times 3075880875779$

$\begin{align}!25&= 647478071469567844940314\\ &= 2\times 41\times 103\times 2875688099\times 26658285041\end{align}$

$\begin{align}!26&= 16158688114800553828940314 \\ &= 2\times 49297\times 1348619023\times 121525196147\end{align}$

$\begin{align}!27&= 419450149241406189412940314\\ &= 2\times 267277525877\times 784671565379641\end{align}$

$\begin{align}!28&= 11308319599659758350180940314\\ &= 2\times 541\times 1352628751\times 7726667059787327\end{align}$

$\begin{align}!29&= 316196664211373618851684940314\\ &= 2\times 1039\times 152163938504029652960387363\end{align}$

$\begin{align}!30&= 9157958657951075573395300940314 \\ &= 2\times 4578979328975537786697650470157\end{align}$

$\begin{align}!31&= 274410818470142134209703780940314 \\ &=2\times 1952023\times 403278053929\times 174293709978371\end{align}$
$!32= 8497249472648064951935266660940314$
$!33= 271628086406341595119153278820940314$
$!34= 8954945705218228090637347680100940314$
$!35= 304187744744822368938255957323620940314$
$!36= 10637335711130967298604907294846820940314$
$!37= 382630662501032184766604355445682020940314$
$!38= 14146383753727377231082583937026584420940314$
$!39= 537169001220328488991089808037100875620940314$
$!40= 20935051082417771847631371547939998232420940314$
$!41= 836850334330315506193242641144055892504420940314$
$!42= 34289376947494122614363304694584807557656420940314$
$!43= 1439295494700374021157505910939096377494040420940314$
$!44= 61854558558074209658512637979453093884758552420940314$
$!45= 2720126133346522977702138448994068984204397080420940314$
$!46= 122342346998826717539665299944651784048588130840420940314$
$!47= 5624964506810915667389970728744906677010239883800420940314$
$!48= 264248206017979096310354325882356886646207872272920420940314$
$!49= 12678163798554051767172643373255731925167694226950680420940314$
$!50= 620960027832821612639424806694551108812720525606160920420940314$
$!51= 31035053229546199656252032972759319953190362094566672920420940314$
$!52= 1582153806516928479880495049442062531016450082111552784920420940314$
$!53= 82240328977460807051541131905845829506305955522994830608920420940314$
$!54= 4357123613037486371349554885295245479196649743889808555280920420940314$
$!55= 235200820952278866843442297568322826562475214315697749687568920420940314$
$!56= 12931604174610554792808543145134839786142796265765134511963408920420940314$
$!57= 723930191979474006646854190608859789522640775146933593199410448920420940314$
$!58= 41250849696856690762327456096041181924503025571373535738383891728920420940314$
$!59= 2391812180979735262591802366611115865753365343752516460159083805968920420940314$
$!60= 141074930726669571000530822087000522211656242116439949000980378746128920420940314$
$!61= 8462062043468059715276872005310364902965828848477685901450258075155728920420940314$
$!62= 516042275920692858516133684181935592128970357836513689000856197556141328920420940314$
$!63= 31986015536308630384169256039132699680141251155094745881164024445377248528920420940314$
$!64= 2014594330940748694500315964401030837224914941382363373987443624058107002128920420940314$
$!65= 128901526516824912797933705299562511640090431115927555572789337999272811232528920420940314$
$!66= 8376552118599295579521104012085058763826348982461365048494912472388228586208528920420940314$
$!67= 552721491196042359583250344259927811408119413371260239581355039342059309734624528920420940314$
$!68= 37023832409384727647833109440865392238575754727420784833282983539610021746678496528920420940314$
$!69= 2517059374846215327248823528010036973285974956082788457204993721557831467458861792528920420940314$
$!70= 173639511802987526699717162409282876065556519849603157850853034644815111221599509216528920420940314$
$!71= 12152211181772879322772500884098381612524494662396029015406215899272824694011444828896528920420940314$
$!72= 862630799749635196843940145124024391901109102783192264901836979287861505072090462526176528920420940314$
$!73= 62097089176635722058368010530398697132679200887480521248724851943266246492293779736730336528920420940314$
$!74= 4532212550689320062949625148655449807209479901170385537067804944313688350559477096753634016528920420940314$
$!75= 335320756702627961288902653369909231952892731722105356707679731779724924051531042556004506336528920420940314$
$!76= 25144461568098026053235379769963942892879136618292228194503574244435567601624398451999819930336528920420940314$
$!77= 1910639163234148281041167640631110501123273671997621563866991557206279611097162321569729792154336528920420940314$
$!78= 147093731191520017915111951726939395484863652896205980410648566245268270960253582401634937653402336528920420940314$
$!79= 11471374909397817849372633110458985624216613232384457970459611391914103596194454348646721150830746336528920420940314$
$!80= 906089587987695346534516804650290637694024830011956365184327674619752094289696314882008531991840922336528920420940314$
$!81= 72475546634251497641346050527836822803278682172377708942293772732846791349769845157550953399272655002336528920420940314$
$!82= 5869601567381619483521080282105945928215635926904003667688158822449236971043661901413735487649018595482336528920420940314$
$!83= 481233935268665794325659287271510892572028929994897332284849092899193231705942810514420867296128185714842336528920420940314$
$!84= 39936473632475252306223130467392121464008532337638343607509206621268944794702572145394012807399899056621722336528920420940314$
$!85= 3354176608197828519305610709597523409464674818579687830726355239004328076086419436275279735776116652212799642336528920420940314$
$!86= 285064588046252856214253554935658682889521309149153894235828267991564354235882352887315566188117040670487922842336528920420940314$
$!87= 24512159971718985237979776758376918398174391861578535645074592764711726603978332629676780201089436506242148518042336528920420940314$
$!88= 2132269458351246702451580295457766513627958129922934747968047103979365842331571506710360203437504230010976620300442336528920420940314$
$!89= 187614911715749685817248425941004050893848927079322281432389628090868928026359770825810501448242006058427610137151642336528920420940314$
$!90= 16695570072624210767034167688394623360733515163575864136345910335924039962404869510225723072235842668787507993136908442336528920420940314$
$!91= 1502411534554385708076556901309220361246303476448264631078562774040909433056470746056217854443119902314404742463115020442336528920420940314$
$!92= 136702564302394681963243125660804362508833169953354942422820297371194580204616465511741501809193569330065573079231123212442336528920420940314$
$!93= 12575116618943701937438567451534357440086824885828769299263059880309332291188135983954787625646234916683173060061887876876442336528920420940314$
$!94= 1169347623700585276696643729757774793654840054462242304485405341093556139412655451199158077142491080220522169349448965967628442336528920420940314$
$!95= 109905963289374893304061928986544375797841643634645114611982779775138756008830583081428267291725906538781387820551834306498316442336528920420940314$
$!96= 10439884451528434155903764028381271471195587983752017983824233351009432743603533707953193642677150375102063624684778441656913676442336528920420940314$
$!97= 1002117819322478123365475165570275072629379236635019813428200288189501655552695033695642669679677899357177158363650532747296788236442336528920420940314$
$!98= 97194877501804597976693901115133973784973193155807995971532677607523247268034570532501521845268750550618461348043328700394364620556442336528920420940314$
$!99= 9524085326385052343602879644172376447594666957234759659465771454902230317291258369415477681052997870374224311936651789129807012187916442336528920420940314$
$!100= 942786239765826579160595268206839381354754349601050974345395410407078230249590414458830117442618180732911203520208889371641659121356556442336528920420940314$