インテジャーズ

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インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

リーマンゼータ値に関する問題

リーマンゼータ値

昨日の記事

integers.hatenablog.com

を眺めていると、次のような数字の3つ並びが目に入ります:


\zeta(50)=1.000000000000000\color{red}{888}17842109308159030960913863913863\dots

\zeta(51)=1.000000000000000\color{red}{444}08921031438133641977709402681213\dots

\zeta(52)=1.000000000000000\color{red}{222}04460507980419839993200942046539\dots

\zeta(53)=1.000000000000000\color{red}{111}02230251410661337205445699213827\dots

\zeta(54)=1.0000000000000000\color{red}{555}1115124845481243723736590509430\dots


次の式は簡単に証明できます:

\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\zeta(n+1)-1}{\zeta (n)-1}=\frac{1}{2},

\displaystyle \frac{\zeta (n)-1}{2} > \zeta (n+1)-1.

さて、

\zeta (50) ≒ 1+8.88\times 10^{-16}

\zeta (51) ≒ 1+4.44\times 10^{-16}

\zeta (52) ≒ 1+2.22\times 10^{-16}

\zeta (53) ≒ 1+1.11\times 10^{-16}

\zeta (54) ≒ 1+5.55\times 10^{-17}

に対し、

\displaystyle \frac{\zeta (50)-1}{2}-(\zeta (51)-1)≒2.32\times 10^{-25}

\displaystyle \frac{\zeta (51)-1}{2}-(\zeta (52)-1)≒7.73\times 10^{-26}

\displaystyle \frac{\zeta (52)-1}{2}-(\zeta (53)-1)≒2.57\times 10^{-26}

\displaystyle \frac{\zeta (53)-1}{2}-(\zeta (54)-1)≒8.59\times 10^{-27}

となっています。参考までに、n=100のときとn=1000のときを調べると、

\zeta (100) ≒ 1+7.88\times 10^{-31}

に対し

\displaystyle \frac{\zeta (100)-1}{2}-(\zeta (101)-1)≒3.23\times 10^{-49}

であり、

\zeta (1000) ≒ 1+9.33\times 10^{-302}

に対し、

\displaystyle \frac{\zeta (1000)-1}{2}-(\zeta (1001)-1)≒1.26\times 10^{-478}

です。それでは、次の問題に答えてください:

問題 上の現象をよく理解できる形で、
\displaystyle \frac{\zeta (n)-1}{2}-(\zeta(n+1)-1)
のオーダー評価を与えよ。