INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

リーマンゼータ値に関する問題

数

昨日の記事

integers.hatenablog.com

を眺めていると、次のような数字の３つ並びが目に入ります：

$\zeta(50)=1.000000000000000\color{red}{888}17842109308159030960913863913863\dots$

$\zeta(51)=1.000000000000000\color{red}{444}08921031438133641977709402681213\dots$

$\zeta(52)=1.000000000000000\color{red}{222}04460507980419839993200942046539\dots$

$\zeta(53)=1.000000000000000\color{red}{111}02230251410661337205445699213827\dots$

$\zeta(54)=1.0000000000000000\color{red}{555}1115124845481243723736590509430\dots$

次の式は簡単に証明できます：

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\zeta(n+1)-1}{\zeta (n)-1}=\frac{1}{2},$

$\displaystyle \frac{\zeta (n)-1}{2} > \zeta (n+1)-1$ .

さて、

$\zeta (50) ≒ 1+8.88\times 10^{-16}$

$\zeta (51) ≒ 1+4.44\times 10^{-16}$

$\zeta (52) ≒ 1+2.22\times 10^{-16}$

$\zeta (53) ≒ 1+1.11\times 10^{-16}$

$\zeta (54) ≒ 1+5.55\times 10^{-17}$

に対し、

$\displaystyle \frac{\zeta (50)-1}{2}-(\zeta (51)-1)≒2.32\times 10^{-25}$

$\displaystyle \frac{\zeta (51)-1}{2}-(\zeta (52)-1)≒7.73\times 10^{-26}$

$\displaystyle \frac{\zeta (52)-1}{2}-(\zeta (53)-1)≒2.57\times 10^{-26}$

$\displaystyle \frac{\zeta (53)-1}{2}-(\zeta (54)-1)≒8.59\times 10^{-27}$

となっています。参考までに、 $n=100$ のときと $n=1000$ のときを調べると、

$\zeta (100) ≒ 1+7.88\times 10^{-31}$

に対し

$\displaystyle \frac{\zeta (100)-1}{2}-(\zeta (101)-1)≒3.23\times 10^{-49}$

であり、

$\zeta (1000) ≒ 1+9.33\times 10^{-302}$

に対し、

$\displaystyle \frac{\zeta (1000)-1}{2}-(\zeta (1001)-1)≒1.26\times 10^{-478}$

です。それでは、次の問題に答えてください：

問題上の現象をよく理解できる形で、

$\displaystyle \frac{\zeta (n)-1}{2}-(\zeta(n+1)-1)$

のオーダー評価を与えよ。