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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

ラマヌジャンによる円周率近似の作図②

21431, 2, 3, 4を並び替えてできる素数の一つですが、\displaystyle \frac{2143}{22}\pi^4に近いという事実は覚える価値があります:

\displaystyle \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.14159265258264612520603717964402237155787798316012\dots

Ramanujanは

\displaystyle \frac{2143}{22} = 9^2+\frac{19^2}{22}


と書けることに着目して次のような作図を提唱しています:

f:id:integers:20170129015214p:plain

  • ABは円Oの直径。
  • Cは弧ABの中点。
  • TAO1:2に内分する点。
  • CM=MN=AT
  • AP=AM
  • PQMNに平行。
  • TROQに平行。
  • AS=AR\angle OAS=90^{\circ}

このとき、Ramanujan曰く「OSOBの比例中項は円周の6分の1に非常に近い」。


実際、AO=1とすれば\displaystyle AT=CM=MN=\frac{1}{3}であり、AC=\sqrt{2}.

\displaystyle AM = \sqrt{2+\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{19}}{3}.

\displaystyle AN = \sqrt{2+\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{22}}{3}.

\displaystyle \frac{AP}{AN} = \sqrt{\frac{19}{22}}.

よって、\displaystyle AQ=\sqrt{\frac{19}{22}} \times AM = \frac{19}{3\sqrt{22}}. \ \displaystyle AS=\frac{1}{3}AQ = \frac{19}{9\sqrt{22}}.

\displaystyle OS = \frac{1}{9}\sqrt{9^2+\frac{19^2}{22}} = \frac{1}{9}\sqrt{\frac{2143}{22}}.

よって、OSOBの比例中項は\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{2143}{22}}となる。