INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

ラマヌジャンによる円周率近似の作図②

整数整数-2143 数数-円周率 Ramanujan

$2143$ は $1, 2, 3, 4$ を並び替えてできる素数の一つですが、 $\displaystyle \frac{2143}{22}$ が $\pi^4$ に近いという事実は覚える価値があります:

$\displaystyle \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.14159265258264612520603717964402237155787798316012\dots$

Ramanujanは

$\displaystyle \frac{2143}{22} = 9^2+\frac{19^2}{22}$

と書けることに着目して次のような作図を提唱しています：

f:id:integers:20170129015214p:plain

$AB$ は円 $O$ の直径。
$C$ は弧 $AB$ の中点。
$T$ は $AO$ を $1:2$ に内分する点。
$CM=MN=AT$ 。
$AP=AM$ 。
$PQ$ は $MN$ に平行。
$TR$ は $OQ$ に平行。
$AS=AR$ で $\angle OAS=90^{\circ}$ 。

このとき、Ramanujan曰く「 $OS$ と $OB$ の比例中項は円周の $6$ 分の $1$ に非常に近い」。

実際、 $AO=1$ とすれば $\displaystyle AT=CM=MN=\frac{1}{3}$ であり、 $AC=\sqrt{2}$ .

$\displaystyle AM = \sqrt{2+\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{19}}{3}$ .

$\displaystyle AN = \sqrt{2+\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{22}}{3}$ .

$\displaystyle \frac{AP}{AN} = \sqrt{\frac{19}{22}}$ .

よって、 $\displaystyle AQ=\sqrt{\frac{19}{22}} \times AM = \frac{19}{3\sqrt{22}}$ . $\ \displaystyle AS=\frac{1}{3}AQ = \frac{19}{9\sqrt{22}}$ .

$\displaystyle OS = \frac{1}{9}\sqrt{9^2+\frac{19^2}{22}} = \frac{1}{9}\sqrt{\frac{2143}{22}}$ .

よって、 $OS$ と $OB$ の比例中項は $\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{2143}{22}}$ となる。